Uma empresa eletrônica garante das balanças digitais da marca X que ela produz, que no máximo 2 \% delas ficam com o visor complemente branco. A fábrica no primeiro mês de existência produziu 500.000 balanças digitais e foram selecionados aleatoriamente 400 balanças para testes e verificou que 20 delas ficaram com o visor complemente branco. Verifique, ao nível de significância de 5 se a afirmação da empresa é verdadeira.

Passo 1

O enunciado é um teste de hipótese para proporção: a empresa diz que, no máximo, 2\% das balanças saem com o visor completamente branco. Na amostra de n=400 balanças, observou-se x=20 com problema, ou seja, \hat p = 20/400 = 0,05. Vamos usar a aproximação normal para testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se de fato p\le0,02.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: p = 0,02
H_1: p > 0,02
É um teste unilateral à direita, pois queremos ver se a proporção verdadeira excede 2\%.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal:
n p_0 = 400 \times 0,02 = 8 \ge 5
n (1-p_0) = 400 \times 0,98 = 392 \ge 5
Ambos satisfazem a regra prática, então \hat p é aproximada por
\mathcal{N}\bigl(p_0,\;p_0(1-p_0)/n\bigr).

Passo 4

Calculamos a estatística de teste Z:
Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = \frac{0,05 - 0,02}{\sqrt{0,02 \times 0,98 / 400}} = \frac{0,03}{\sqrt{0,0196/400}} = \frac{0,03}{0,007} \approx 4,29.

Passo 5

Para \alpha=0,05 no teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = z_{0,95} \approx 1,645.
A regra de decisão é: rejeitar H_0 se Z > 1,645.

Passo 6

Como Z \approx 4,29 é muito maior que 1,645, rejeitamos H_0. O valor-p seria P(Z>4,29)\ll0,05.

Resposta

Rejeita-se H_0. Ao nível de significância de 5\%, a afirmação da empresa de que “no máximo 2\% das balanças ficam com o visor completamente branco” não se sustenta, pois a taxa real parece ser maior que 2\%.

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