(3,0) Seja X a quantidade de adubo colocada no solo, em doses por hectare, e Y a produtividade obtida, em toneladas por hectare. Admite-se que essas variáveis estão relacionadas de acordo com o modelo: Y=a+b \sqrt{X}. Um experimento forneceu os seguintes resultados:
X Y
0 2,7
1 4,4
4 5,3
9 5,4
16 7,2
a) Encontre uma estimativa dos parâmetros a e b pelo método matricial.
b) Encontre o intervalo de confiança de 95 \% para esses parâmetros.
c) Encontre \circ R^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o modelo
Y = a + b\,\sqrt{X}
e os pares (X_i,Y_i):
(0,2{,}7),\,(1,4{,}4),\,(4,5{,}3),\,(9,5{,}4),\,(16,7{,}2).
Para aplicar mínimos quadrados matricialmente, fazemos a regressão linear de Y contra Z=\sqrt{X}. Vamos estimar \hat a e \hat b, depois o intervalo de confiança a 95 % e finalmente R^2.

Passo 2

Defina Z_i=\sqrt{X_i}. Assim
Z = [0,1,2,3,4],\quad Y=[2{,}7,4{,}4,5{,}3,5{,}4,7{,}2].
Temos
n=5,\quad \sum Z_i = 10,\quad \sum Y_i = 25
\bar Z = \frac{10}{5}=2,\quad \bar Y = \frac{25}{5}=5.
Calcule
S_{ZZ}=\sum_{i=1}^5(Z_i-\bar Z)^2 = 4+1+0+1+4 = 10,
S_{ZY}=\sum_{i=1}^5(Z_i-\bar Z)(Y_i-\bar Y)=4{,}6+0{,}6+0+0{,}4+4{,}4 = 10.

Passo 3

As fórmulas dos estimadores são
\hat b = \frac{S_{ZY}}{S_{ZZ}} = \frac{10}{10} =1,
\hat a = \bar Y - \hat b\,\bar Z = 5 - 1\cdot 2 = 3.

Passo 4

Calcule os resíduos e_i = Y_i - (\hat a + \hat b\,Z_i) e o erro quadrático total:
\text{SSE} = \sum_{i=1}^5 e_i^2 = 0{,}74.
A variância residual estimada é
s^2 = \frac{\text{SSE}}{n-2} = \frac{0{,}74}{3} \approx 0{,}2467.
Dessa forma
\mathrm{Var}(\hat b) = \frac{s^2}{S_{ZZ}} = \frac{0{,}2467}{10} = 0{,}02467,\quad \mathrm{SE}(\hat b)=\sqrt{0{,}02467}\approx0{,}1571,
\mathrm{Var}(\hat a) = s^2\Bigl(\frac1n + \frac{\bar Z^2}{S_{ZZ}}\Bigr) =0{,}2467\Bigl(0{,}2+0{,}4\Bigr)=0{,}1480,\quad \mathrm{SE}(\hat a)\approx0{,}3847.

Passo 5

Para intervalo de confiança a 95\% com n-2=3 graus de liberdade, t_{0{,}975;3}=3{,}182.
\text{IC}_{95\%}(\hat b) = 1 \pm 3{,}182\cdot0{,}1571 =1\pm0{,}50 =(0{,}50,\;1{,}50),
\text{IC}_{95\%}(\hat a) = 3 \pm 3{,}182\cdot0{,}3847 =3\pm1{,}224 =(1{,}776,\;4{,}224).

Passo 6

O coeficiente de determinação é
\text{SSR} = \sum(\hat Y_i - \bar Y)^2 = 10,\quad \text{SST} = \sum(Y_i - \bar Y)^2 = 10{,}74,
R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = \frac{10}{10{,}74}\approx0{,}931.

Resposta

(a) \hat a=3, \hat b=1.
(b) IC_{95\%}(\hat a)=(1{,}776,\;4{,}224), IC_{95\%}(\hat b)=(0{,}50,\;1{,}50).
(c) R^2\approx0{,}931.

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