Foram selecionadas aleatoriamente 1501 pessoas, Sabendo que 70 \% destas acreditam no aquecimento global. Para uma confiança de 95 \%;
a) Encontre o erro
b) Estime o intervalo de confiança da proporção
c) Para um erro de 0,05 , qual seria o tamanho de amostra necessário?

Passo 1

O enunciado diz que numa amostra de n=1501 pessoas, a proporção de quem acredita no aquecimento global é \hat p=0,70. Queremos, a 95\% de confiança, (a) o erro máximo E, (b) o intervalo de confiança para \hat p e (c) o tamanho de amostra necessário para erro d=0,05. Vamos usar a aproximação normal à distribuição binomial, com z_{0,025}=1,96.

Passo 2

O erro máximo de estimação de proporção é
E = z_{0,025}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =1,96\;\sqrt{\frac{0,70\,(1-0,70)}{1501}} =1,96\;\sqrt{\frac{0,21}{1501}}.
Calculando, \sqrt{0,21/1501}\approx0,01184, logo
E \approx1,96\times0,01184\approx0,0232.

Passo 3

O intervalo de confiança a 95\% é
\hat p \pm E \quad\Longrightarrow\quad 0,70\pm0,0232
ou seja
[\,0,70-0,0232,\;0,70+0,0232\,] =[\,0,6768,\;0,7232\,].

Passo 4

Para um erro desejado d=0,05, o tamanho de amostra mínimo é
n =\frac{z_{0,025}^2\,\hat p\,(1-\hat p)}{d^2} =\frac{1,96^2\cdot0,70\cdot0,30}{(0,05)^2} =\frac{3,8416\cdot0,21}{0,0025} \approx322,7.
Arredondando para o inteiro acima, n=323.

Resposta

a) E\approx0,0232.
b) Intervalo de confiança [0,6768,\;0,7232].
c) n\approx323.

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