Uma força de 12,0 N e orientação fixa realiza trabalho sobre uma partícula que sofre um deslocamento d=(2,00 i 4,00 j+3,00 k) m. Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se a variação da energia cinética da partícula é (a) +30,0 J e (b) -30,0 J ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma força de 12,0 N, com direção fixa, faz trabalho sobre uma partícula que se desloca segundo o vetor
.
A variação de energia cinética ΔK vale +30,0 J no caso (a) e –30,0 J no caso (b). A pergunta é: qual o ângulo θ entre a força e o deslocamento em cada caso?
Conteúdo: Trabalho de uma força constante, produto escalar e definição de ângulo entre vetores.
O que vamos precisar:
  • Definição de trabalho via produto escalar,
  • Cálculo da magnitude do deslocamento,
  • Relação para achar θ.

Passo 2

Teoria básica:
  1. Produto escalar de vetores:
    costheta ;=;WF,d, .
  2. Se a força tem intensidade e faz ângulo θ com o deslocamento de módulo , então
    .
  3. Aqui o trabalho é igual à variação da energia cinética ΔK (teorema trabalho–energia).
Logo, para determinar o ângulo, vamos usar

Passo 3

Primeiro, calculamos o módulo do deslocamento d = |vec d| = raiz2^2 + 4^2 + 3^2 = raiz4 + 16 + 9 = raiz29 approx 5,385;m :

Passo 4

Agora aplicamos costhetaa = 30,012,0times5,385 approx 0,464 Longrightarrow thetaa = arccos(0,464) approx 62,3^circ .
(a) Para costhetab = -30,012,0times5,385 approx -0,464 Longrightarrow thetab = arccos(-0,464) approx 117,7^circ :
(b) Para :

Resposta

(a)
(b)

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