Uma força com
de intensidade é aplicada a uma caixa com
de massa. Essa força possui uma inclinação de
com a vertical e o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície varia com a posição da caixa, de acordo com a função
, com
medido em metros. A caixa é deslocada da posição
para a posição
. (a)(
) Calcule o trabalho da força
. (b)
Calcule o trabalho realizado pela força de atrito. (c)(
) Sabendo que a velocidade inicial da caixa, em
, era de
calcule a velocidade após ela ter percorrido os
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece dados. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações foram dadas (tudo extraído do enunciado):
-
Perguntas:
(a) Calcular o trabalho da forçaquando a caixa é deslocada de até .
(b) Calcular o trabalho realizado pela força de atrito no mesmo deslocamento.
(c) Dada a velocidade inicialem , calcular a velocidade após percorrer . -
Dados (retirei diretamente do enunciado):
Observação importante (só identificando): a caixa se move sobre uma superfície horizontal; o atrito é cinético e varia com
. No passo seguinte começo a resolver.
Passo 2
Primeiro entendemos a decomposição da força
. Quando uma força faz um ângulo com a vertical é mais fácil obter suas componentes vertical e horizontal assim:
- Se o ângulo entre
e a vertical é , então:
Explicação didática: coseno de um ângulo dá a projeção na direção que define o ângulo (aqui vertical), seno dá a projeção perpendicular (aqui horizontal). A componente horizontal é a que efetivamente faz trabalho ao deslocar a caixa horizontalmente.
Agora calculo numericamente essas componentes (vou mostrar os passos de conta):
Passo 3
(a) Trabalho da força
.
Conceito: O trabalho realizado por uma força constante ao deslocar um corpo numa direção é o produto da componente da força na direção do deslocamento pelo deslocamento:
.
Aqui o deslocamento é horizontal e a componente horizontal de
é
. Portanto:
Substituindo o valor calculado:
Arredondando com razoável precisão (dados têm cerca de 3 algarismos significativos):
Passo 4
Cálculo da força normal
necessária para avaliar o atrito.
Conceito: Sobre uma superfície horizontal, a normal
equilibra o peso menos qualquer componente vertical da força aplicada que empurre/levante o corpo. Se a força tem componente vertical para cima (como aqui), ela reduz a normal.
Logo:
Explicando variáveis:
-
é a massa da caixa ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a componente vertical (positiva para cima) da força aplicada.
Agora calculo numericamente:
Passo 5
(b) Trabalho da força de atrito.
Conceito e fórmula: A força de atrito cinético local é
. Como
depende de
, o trabalho da força de atrito ao deslocar de
a
é
O sinal negativo é porque o atrito sempre faz trabalho oposto ao deslocamento.
Como
é constante (a força aplicada é constante), posso tirar
para fora da integral:
Calculo da integral passo a passo:
Portanto:
Substituindo
:
Arredondando:
Pequena intuição: O atrito fez trabalho negativo de cerca de
, ou seja, removeu essa energia do sistema.
Passo 6
(c) Velocidade final após
usando o Teorema do Trabalho e Energia.
Teorema do Trabalho-Energia (explicado): A variação da energia cinética do corpo é igual ao trabalho total realizado por todas as forças externas:
. Aqui as forças que realizam trabalho na direção horizontal são a componente horizontal de
(calculada) e a força de atrito (calculada). A normal e o peso não fazem trabalho (deslocamento vertical é zero).
Expressão:
Onde:
Reorganizando para
:
Agora substituo valores numéricos:
Verificação:
é positivo, então a caixa ainda se move após
.
Finalmente:
Arredondando razoavelmente:
(Eu conferi que
, então não houve parada antes de
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)