Uma força com 20,0 \mathrm{~N} de intensidade é aplicada a uma caixa com 5,0 \mathrm{~kg} de massa. Essa força possui uma inclinação de 65^{\circ} com a vertical e o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície varia com a posição da caixa, de acordo com a função \mu_{c}=0,75+0,01 x, com x medido em metros. A caixa é deslocada da posição x=0 para a posição x=10,0 \mathrm{~m}. (a)( \mathbf{1 , 0} ) Calcule o trabalho da força F. (b) (1,5) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito. (c)( \mathbf{0 , 5} ) Sabendo que a velocidade inicial da caixa, em x=0, era de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} calcule a velocidade após ela ter percorrido os 10,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações foram dadas (tudo extraído do enunciado):
  • Perguntas:
    (a) Calcular o trabalho da força \,F quando a caixa é deslocada de x=0 até x=10{,}0\\ \mathrm{m}.
    (b) Calcular o trabalho realizado pela força de atrito no mesmo deslocamento.
    (c) Dada a velocidade inicial v_0 em x=0, calcular a velocidade após percorrer 10{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Dados (retirei diretamente do enunciado):
    F = 20{,}0\\ \mathrm{N},\qquad m = 5{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad \text{a força faz }65^\circ\text{ com a vertical},ç
\mu_c(x)=0{,}75+0{,}01x\quad\text{com }x\text{ em metros},\qquad x_{\text{inicial}}=0,\qquad x_{\text{final}}=10{,}0\\ \mathrm{m},
v_0=10{,}0\\ \mathrm{m/s},\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\\ (\text{vou usar }g=9{,}8).
Observação importante (só identificando): a caixa se move sobre uma superfície horizontal; o atrito é cinético e varia com x. No passo seguinte começo a resolver.

Passo 2

Primeiro entendemos a decomposição da força \,F. Quando uma força faz um ângulo com a vertical é mais fácil obter suas componentes vertical e horizontal assim:
  • Se o ângulo entre \,F e a vertical é \,65^\circ, então: \text{componente vertical: }F_y = F\cos(65^\circ),
\text{componente horizontal: }F_x = F\sin(65^\circ).
Explicação didática: coseno de um ângulo dá a projeção na direção que define o ângulo (aqui vertical), seno dá a projeção perpendicular (aqui horizontal). A componente horizontal é a que efetivamente faz trabalho ao deslocar a caixa horizontalmente.
Agora calculo numericamente essas componentes (vou mostrar os passos de conta):
F=20{,}0\\ \mathrm{N}.
\sin(65^\circ)\approx 0{,}906307\quad\text{e}\quad \cos(65^\circ)\approx 0{,}422618.
F_x = 20{,}0\cdot 0{,}906307 \approx 18{,}1261\\ \mathrm{N}.
F_y = 20{,}0\cdot 0{,}422618 \approx 8{,}4524\\ \mathrm{N}.

Passo 3

(a) Trabalho da força \,F.
Conceito: O trabalho realizado por uma força constante ao deslocar um corpo numa direção é o produto da componente da força na direção do deslocamento pelo deslocamento: \,W = F_{\parallel}\, \Delta x.
Aqui o deslocamento é horizontal e a componente horizontal de \,F é F_x. Portanto:
W_F = F_x \cdot (x_{\text{final}}-x_{\text{inicial}})=F_x\cdot 10{,}0.
Substituindo o valor calculado:
W_F \approx 18{,}1261\cdot 10{,}0 \approx 181{,}261\\ \mathrm{J}.
Arredondando com razoável precisão (dados têm cerca de 3 algarismos significativos):
W_F \approx 181{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Cálculo da força normal N necessária para avaliar o atrito.
Conceito: Sobre uma superfície horizontal, a normal N equilibra o peso menos qualquer componente vertical da força aplicada que empurre/levante o corpo. Se a força tem componente vertical para cima (como aqui), ela reduz a normal.
Logo:
N = mg - F_y.
Explicando variáveis:
  • m é a massa da caixa ( \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • F_y é a componente vertical (positiva para cima) da força aplicada.
Agora calculo numericamente:
mg = 5{,}0\cdot 9{,}8 = 49{,}0\\ \mathrm{N}.
N = 49{,}0 - 8{,}4524 \approx 40{,}5476\\ \mathrm{N}.

Passo 5

(b) Trabalho da força de atrito.
Conceito e fórmula: A força de atrito cinético local é f_k(x)=\mu_c(x)\,N. Como \mu_c depende de x, o trabalho da força de atrito ao deslocar de 0 a 10{,}0 é
W_{\text{atrito}} = -\int_{0}^{10} f_k(x)\,dx = -\int_{0}^{10} \mu_c(x)\,N\,dx.
O sinal negativo é porque o atrito sempre faz trabalho oposto ao deslocamento.
Como N é constante (a força aplicada é constante), posso tirar N para fora da integral:
W_{\text{atrito}} = -N\int_{0}^{10} \bigl(0{,}75+0{,}01x\bigr)\,dx.
Calculo da integral passo a passo:
\int_{0}^{10} \bigl(0{,}75+0{,}01x\bigr)\,dx = \bigl[0{,}75x + 0{,}005x^2\bigr]_{0}^{10}.
= 0{,}75\cdot 10 + 0{,}005\cdot 10^2 = 7{,}5 + 0{,}5 = 8{,}0.
Portanto:
W_{\text{atrito}} = -N\cdot 8{,}0.
Substituindo N\approx 40{,}5476\\ \mathrm{N}:
W_{\text{atrito}} \approx -40{,}5476\cdot 8{,}0 \approx -324{,}381\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
W_{\text{atrito}} \approx -324{,}4\\ \mathrm{J}.
Pequena intuição: O atrito fez trabalho negativo de cerca de -324\\ \mathrm{J}, ou seja, removeu essa energia do sistema.

Passo 6

(c) Velocidade final após 10{,}0\\ \mathrm{m} usando o Teorema do Trabalho e Energia.
Teorema do Trabalho-Energia (explicado): A variação da energia cinética do corpo é igual ao trabalho total realizado por todas as forças externas: \Delta K = W_{\text{total}}. Aqui as forças que realizam trabalho na direção horizontal são a componente horizontal de F (calculada) e a força de atrito (calculada). A normal e o peso não fazem trabalho (deslocamento vertical é zero).
Expressão:
\Delta K = K_f - K_i = W_F + W_{\text{atrito}}.
Onde:
K_i = \tfrac{1}{2} m v_0^2,\qquad K_f = \tfrac{1}{2} m v_f^2.
Reorganizando para v_f:
\tfrac{1}{2} m v_f^2 = \tfrac{1}{2} m v_0^2 + W_F + W_{\text{atrito}}.
v_f = \sqrt{\dfrac{2}{m}\Bigl(\tfrac{1}{2} m v_0^2 + W_F + W_{\text{atrito}}\Bigr)}.
Agora substituo valores numéricos:
K_i = \tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0\cdot (10{,}0)^2 = 0{,}5\cdot 5{,}0\cdot 100 = 250{,}0\\ \mathrm{J}.
W_F \approx +181{,}261\\ \mathrm{J},\qquad W_{\text{atrito}}\approx -324{,}381\\ \mathrm{J}.
K_f = 250{,}0 + 181{,}261 - 324{,}381 \approx 106{,}880\\ \mathrm{J}.
Verificação: K_f é positivo, então a caixa ainda se move após 10{,}0\\ \mathrm{m}.
Finalmente:
v_f = \sqrt{\dfrac{2\cdot 106{,}880}{5{,}0}} = \sqrt{42{,}752{,}0} \approx 6{,}5385\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
v_f \approx 6{,}54\\ \mathrm{m/s}.
(Eu conferi que K_f>0, então não houve parada antes de 10{,}0\\ \mathrm{m}.)

Resposta

(a) W_F \approx 181{,}3\\ \mathrm{J}
(b) W_{\text{atrito}} \approx -324{,}4\\ \mathrm{J}
(c) v_f \approx 6{,}54\\ \mathrm{m/s}

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