A posição de uma partícula com
de massa é dada por
, em unidades do S.I… Calcule a potência instantânea.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula e a sua massa e pede a potência instantânea. Dados importantes (copiados do enunciado):
O que é pedido: calcular a potência instantânea
em função do tempo.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): a potência instantânea entregue à partícula por uma força
é o produto escalar entre a força e a velocidade,
Para uma partícula de massa
, a força resultante é dada pela segunda lei de Newton
, onde
é a aceleração. Portanto podemos calcular a potência também como
Outra forma equivalente (útil para checar resultado) é lembrar que a potência é a derivada temporal da energia cinética
, isto é
. Aqui vou usar
porque é direto.
Passo 3
Primeiro passo prático: calcular a velocidade
. Derivamos componente a componente (regra:
):
Derivando:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Agora a aceleração
. Derivando
componente a componente:
Isso dá:
Portanto
Passo 5
A força resultante é
. Multiplicamos cada componente por
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Agora calculamos a potência pela definição
. O produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes:
Aqui
. Substituindo:
Calculamos cada termo separadamente:
. Para o segundo termo, calcule
:
Logo
. Somando os termos:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): compute a energia cinética
. Temos
Derivando
, que coincide com
obtido pelo produto escalar — perfeito.