(\mathbf{1}, \mathbf{0}) A posição de uma partícula com 2,0 \mathrm{~kg} de massa é dada por \vec{r}=20 \hat{\mathbf{i}}+10 t^{2} \hat{\mathbf{j}}+60 t^{3} \hat{\mathbf{k}}, em unidades do S.I… Calcule a potência instantânea.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula e a sua massa e pede a potência instantânea. Dados importantes (copiados do enunciado):
\vec{r}(t)=20\hat{\mathbf{i}}+10t^{2}\hat{\mathbf{j}}+60t^{3}\hat{\mathbf{k}},
m=2,0\\ \mathrm{kg}.
O que é pedido: calcular a potência instantânea P(t) em função do tempo.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): a potência instantânea entregue à partícula por uma força \vec{F} é o produto escalar entre a força e a velocidade,
P(t)=\vec{F}\cdot\vec{v}.
Para uma partícula de massa m, a força resultante é dada pela segunda lei de Newton \vec{F}=m\vec{a}, onde \vec{a} é a aceleração. Portanto podemos calcular a potência também como
P(t)=m\,\vec{a}\cdot\vec{v}.
Outra forma equivalente (útil para checar resultado) é lembrar que a potência é a derivada temporal da energia cinética K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, isto é P=\dfrac{dK}{dt}. Aqui vou usar P=\vec{F}\cdot\vec{v} porque é direto.

Passo 3

Primeiro passo prático: calcular a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Derivamos componente a componente (regra: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{n-1}):
\vec{v}(t)=\dfrac{d}{dt}\big(20\hat{\mathbf{i}}+10t^{2}\hat{\mathbf{j}}+60t^{3}\hat{\mathbf{k}}\big).
Derivando:
\vec{v}(t)=0\hat{\mathbf{i}}+ (2\cdot 10)t\\ \hat{\mathbf{j}} + (3\cdot 60)t^{2}\\ \hat{\mathbf{k}}.
Simplificando os coeficientes:
\vec{v}(t)=0\hat{\mathbf{i}}+20t\hat{\mathbf{j}}+180t^{2}\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Agora a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Derivando \vec{v}(t) componente a componente:
\vec{a}(t)=\dfrac{d}{dt}\big(0\hat{\mathbf{i}}+20t\hat{\mathbf{j}}+180t^{2}\hat{\mathbf{k}}\big).
Isso dá:
\vec{a}(t)=0\hat{\mathbf{i}}+20\hat{\mathbf{j}}+ (2\cdot 180)t\\ \hat{\mathbf{k}}.
Portanto
\vec{a}(t)=0\hat{\mathbf{i}}+20\hat{\mathbf{j}}+360t\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

A força resultante é \vec{F}=m\vec{a}. Multiplicamos cada componente por m=2,0\\ \mathrm{kg}:
\vec{F}(t)=2,0\big(0\hat{\mathbf{i}}+20\hat{\mathbf{j}}+360t\hat{\mathbf{k}}\big).
Fazendo a multiplicação:
\vec{F}(t)=0\hat{\mathbf{i}}+40\hat{\mathbf{j}}+720t\hat{\mathbf{k}}\quad(\mathrm{N}).

Passo 6

Agora calculamos a potência pela definição P=\vec{F}\cdot\vec{v}. O produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes:
P(t)=F_x v_x + F_y v_y + F_z v_z.
Aqui F_x=0,\\ v_x=0,\\ F_y=40,\\ v_y=20t,\\ F_z=720t,\\ v_z=180t^{2}. Substituindo:
P(t)=0\cdot 0 + 40\cdot(20t) + (720t)\cdot(180t^{2}).
Calculamos cada termo separadamente: 40\cdot 20t = 800t. Para o segundo termo, calcule 720\cdot 180:
720\cdot 180 = 720\cdot(200-20)=144000-14400=129600.
Logo (720t)(180t^{2})=129600\,t^{3}. Somando os termos:
P(t)=800t+129600\,t^{3}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): compute a energia cinética K=\tfrac{1}{2}m v^{2}. Temos
v^{2}=(20t)^{2}+(180t^{2})^{2}=400t^{2}+32400t^{4},
K=\tfrac{1}{2}\cdot 2,0\,(400t^{2}+32400t^{4})=400t^{2}+32400t^{4}.
Derivando dK/dt=800t+129600t^{3}, que coincide com P(t) obtido pelo produto escalar — perfeito.

Resposta

P(t)=800t+129600t^{3}\\ \mathrm{W}

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