Uma força de 40 N é necessária para segurar uma mola que foi esticada do seu comprimento natural de 10 cm para um comprimento de 15 cm . Quanto trabalho é feito esticando-se a mola de 15 cm para 18 cm ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade específica.
  • Força necessária para segurar a mola quando ela foi esticada de 10 cm (comprimento natural) para 15 cm: \;40\\ \mathrm{N}.
  • Comprimento natural da mola: \;10\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento inicial no trecho que vamos analisar: \;15\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento final no trecho que vamos analisar: \;18\\ \mathrm{cm}.
Pergunta do enunciado: Quanto trabalho é feito esticando-se a mola de \;15\\ \mathrm{cm} para \;18\\ \mathrm{cm}?

Passo 2

Primeiro convertemos tudo para o SI (metros), porque as constantes de mola e trabalho usam unidades do SI.
  • Comprimento natural: \;10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento inicial do trecho: \;15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento final do trecho: \;18\\ \mathrm{cm}=0{,}18\\ \mathrm{m}.
Agora definimos as extensões (deslocamentos a partir do comprimento natural), que é o que aparece na lei da mola:
  • Extensão inicial: \;x_1 = 0{,}15-0{,}10 = 0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Extensão final: \;x_2 = 0{,}18-0{,}10 = 0{,}08\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Usamos a relação linear entre força e extensão (lei de Hooke). A fórmula é
F = kx,
onde
  • \;F é a força aplicada (em \mathrm{N}),
  • \;k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}),
  • \;x é a extensão medida a partir do comprimento natural (em \mathrm{m}).
Da informação dada, quando \;x=0{,}05\\ \mathrm{m} temos \;F=40\\ \mathrm{N}. Portanto
k=\frac{F}{x}=\frac{40}{0{,}05}.
Calculando:
k=\frac{40}{0{,}05}=800\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Agora precisamos do trabalho para esticar a mola de \;x_1 até \;x_2. Em um pequeno deslocamento \;dx a força instantânea é \;F(x)=kx e o trabalho elemental é \;dW=F(x)\,dx=kx\,dx. O trabalho total é a integral
W=\int_{x_1}^{x_2} kx\,dx.
Explicando: \;x é a extensão variável do ponto inicial ao final; somamos (integramos) os pequenos trabalhos kx\,dx ao longo desse intervalo.

Passo 5

Efetuamos a integral. Como k é constante,
W=k\int_{x_1}^{x_2} x\,dx = k\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{x_1}^{x_2} = \frac{1}{2}k\left(x_2^2-x_1^2\right).
Substituindo os valores \;k=800\\ \mathrm{N/m}, \;x_1=0{,}05\\ \mathrm{m} e \;x_2=0{,}08\\ \mathrm{m}:
x_2^2 = (0{,}08)^2 = 0{,}0064,
x_1^2 = (0{,}05)^2 = 0{,}0025,
x_2^2-x_1^2 = 0{,}0064-0{,}0025=0{,}0039.
Então
W=\tfrac{1}{2}\cdot 800 \cdot 0{,}0039 = 400\cdot 0{,}0039 = 1{,}56\\ \mathrm{J}.
Como verificação rápida (intuitiva): a força em x_1 é \;F_1=40\\ \mathrm{N} e em x_2 é \;F_2=kx_2=800\cdot 0{,}08=64\\ \mathrm{N}. A força média aproximada é \;(F_1+F_2)/2=52\\ \mathrm{N}; a deslocamento é 0{,}03\\ \mathrm{m}; produto 52\cdot 0{,}03=1{,}56\\ \mathrm{J}, consistente com o resultado exato.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (guarda mental):
  • Ache k usando k=F/x com a força dada e a extensão correspondente.
  • Converta comprimentos para metros.
  • Calcule W=\int_{x_1}^{x_2} kx\,dx = \tfrac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2).
  • Substitua e calcule. Vai dar certo — respira, você tá indo bem!

Resposta

1{,}56\\ \mathrm{J}

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