1 (1 ponto) Enuncie o teorema de Green em detalhes e utilize-o para mostrar que a área delimitada pela elipse
é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) enunciar o teorema de Green em detalhes; (2) usar esse teorema para mostrar que a área delimitada pela elipse
é
.
Informações dadas: a curva é a elipse com semi-eixos (no eixo
) e
(no eixo
). Não há outras informações ausentes. A prova deve usar o teorema de Green e terminar com a área igual a
.
Informações dadas: a curva é a elipse com semi-eixos
Passo 2
Enunciado detalhado do teorema de Green (forma padrão): seja
uma região do plano
que é simplesmente conexa e cujo contorno
é uma curva fechada, suave por partes, percorrida positivamente (no sentido anti-horário). Suponha que
e
tenham derivadas parciais contínuas num aberto que contém
. Então vale
onde
é o elemento de área no plano
.
Explicação dos termos: é uma integral de linha ao longo da curva
;
é a derivada parcial de
em relação a
;
é a derivada parcial de
em relação a
. A orientação positiva significa que, ao caminhar em
, a região
fica sempre à esquerda.
Explicação dos termos:
Passo 3
Como queremos a área de
, isto é
, vamos escolher funções
e
de modo que
Uma escolha simples e clássica é
Verificamos as derivadas:
Logo
Passo 4
Aplicando o teorema de Green com essa escolha de
e
, obtemos
Substituindo
e
dá
Comentário didático: essa fórmula é muito prática — transforma a área (uma integral dupla) numa integral de linha ao redor da fronteira
. Agora só falta calcular essa integral de linha para a elipse.
Passo 5
Parametrização da elipse: a elipse dada por
pode ser parametrizada de forma natural por
Essa parametrização percorre a elipse no sentido anti-horário (orientação positiva), como exigido pelo teorema de Green. Derivando em relação a
obtemos
Passo 6
Substituímos na integral de linha da área:
Agora inserimos as expressões:
Simplificando:
Portanto
Passo 7
Voltando à fórmula da área obtida no Passo 4,
Comentário final: fizemos uma escolha conveniente de
e
que transformou o problema da área numa integral de linha simples; a parametrização trigonométrica da elipse torna a integral imediata graças a
.