Use a equação de Thorntwaite para calcular as evapotranspirações mensais da estação de São Gonçalo \left(20^{\circ} \mathrm{S}\right), \mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}.
Ano Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
\begin{array}{lllllllllllll}\mathrm{T}^{\circ} \mathrm{C} & 24,3 & 24,7 & 24,4 & 23,9 & 22,4 & 22,2 & 21,2 & 21,0 & 21,9 & 22,5 & 22,7 & 23,8\end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as evapotranspirações potenciais mensais (ETP) da estação de São Gonçalo usando a equação de Thornthwaite.
Dados fornecidos:
\text{latitude} = 20^\circ\text{ S},
\begin{array}{l} \text{Temperaturas médias mensais (}^\circ\text{C):}\\\ \text{Jan}=24,3,\\ \text{Fev}=24,7,\\ \text{Mar}=24,4,\\ \text{Abr}=23,9,\\\ \text{Mai}=22,4,\\ \text{Jun}=22,2,\\ \text{Jul}=21,2,\\ \text{Ago}=21,0,\\\ \text{Set}=21,9,\\ \text{Out}=22,5,\\ \text{Nov}=22,7,\\ \text{Dez}=23,8. \end{array}é
Observação do enunciado: aparece também T=25^\circ\text{C}. Vou manter os doze valores mensais acima como temperaturas de entrada para Thornthwaite (é com esses que se calcula o índice térmico mensal); o T=25^\circ\text{C} parece uma informação adicional, mas as contas seguintes usam os doze meses listados acima.

Passo 2

Breve explicação didática do método (passo a passo conceitual):
  1. Thornthwaite exige primeiro calcular o índice térmico mensal i_m e o índice térmico anual I. Para cada mês onde a temperatura média mensal \,T_m>0^\circ\text{C}\, calcula-se
i_m=\left(\frac{T_m}{5}\right)^{1{,}514}.
Aqui \,T_m é a temperatura média do mês em graus Celsius. Se \,T_m\le 0^\circ\text{C}, então i_m=0.
  1. Soma-se todos os i_m para obter o índice anual
I=\sum_{m=1}^{12} i_m.
  1. Calcula-se o expoente empírico a a partir de I usando a fórmula polinomial de Thornthwaite:
a = 6{,}75\cdot 10^{-7}I^{3} - 7{,}71\cdot 10^{-5}I^{2} + 1{,}792\cdot 10^{-2}I + 0{,}49239.
Explicação: a é um ajuste empírico que transforma o índice térmico numa relação com a evapotranspiração.
  1. A fórmula mensal de evapotranspiração em mm/ mês é
\mathrm{ETP}_m = 16\left(\frac{10\,T_m}{I}\right)^{a}\cdot \frac{D_m}{12}\cdot \frac{n_m}{30},
onde:
  • \mathrm{ETP}_m é a evapotranspiração do mês m (mm);
  • T_m é a temperatura média do mês (^\circ C);
  • I e a já definidos;
  • D_m é o número médio de horas de luz do dia (daylength) do mês m (horas) — este é o fator de correção pela duração do dia;
  • n_m é o número de dias do mês m (31, 28, 31, 30, …).
  1. Para calcular D_m (= duração média diária do mês em horas) usamos as fórmulas astronômicas aproximadas: primeiro a declinação solar média do mês \delta (em graus), usando o dia médio do mês n (usei o dia 15 de cada mês). A fórmula usada:
\delta = 23{,}45^\circ\sin\!\left(\frac{360^\circ(284+n)}{365}\right).
Depois a duração do dia (em horas) para latitude \varphi é
D = \frac{24}{\pi}\operatorname{arccos}\!\big(-\tan\varphi\;\tan\delta\big),
onde \varphi e \delta devem estar em radianos na avaliação das funções trigonométricas (na prática eu usei a forma direta com graus convertidos internamente nas contas mostradas abaixo). Para latitude sul, \varphi=-20^\circ; no cálculo a expressão resulta em um valor coerente com o hemisfério.
Agora aplico cada etapa numericamente, mostrando os cálculos essenciais.

Passo 3

Cálculo dos índices térmicos mensais i_m.
Vou calcular para cada mês k_m=\frac{T_m}{5} e depois i_m=k_m^{1{,}514}. (Mostro o detalhe de um mês e depois os resultados dos 12 meses.)
Exemplo detalhado — janeiro:
k_{\text{Jan}}=\frac{24{,}3}{5}=4{,}86,
i_{\text{Jan}}=(4{,}86)^{1{,}514}\approx 10{,}96.
Agora os i_m para todos os meses (arredondados com duas casas decimais):
\begin{array}{ll} i_{\text{Jan}}=10{,}96, & i_{\text{Fev}}=11{,}21,\\\ i_{\text{Mar}}=11{,}00, & i_{\text{Abr}}=10{,}65,\\\ i_{\text{Mai}}=9{,}69, & i_{\text{Jun}}=9{,}55,\\\ i_{\text{Jul}}=8{,}90, & i_{\text{Ago}}=8{,}79,\\\ i_{\text{Set}}=9{,}39, & i_{\text{Out}}=9{,}75,\\\ i_{\text{Nov}}=9{,}90, & i_{\text{Dez}}=10{,}63. \end{array}

Passo 4

Cálculo do índice térmico anual I e do coeficiente a.
Somando os i_m:
I=\sum_{m=1}^{12} i_m \approx 120{,}42.
Agora aplico a fórmula para a:
\begin{aligned} a &= 6{,}75\cdot 10^{-7}I^{3} - 7{,}71\cdot 10^{-5}I^{2} + 1{,}792\cdot 10^{-2}I + 0{,}49239 \\\ &\approx 6{,}75\cdot 10^{-7}(120{,}42)^{3} - 7{,}71\cdot 10^{-5}(120{,}42)^{2} \\\ &\quad + 0{,}01792\cdot 120{,}42 + 0{,}49239 \\\ &\approx 2{,}7115. \end{aligned}
Comentário: a\approx 2{,}71 (valor adimensional que ajusta a sensibilidade da ETP à temperatura).

Passo 5

Cálculo da declinação solar média mensal \delta (usei o dia 15 de cada mês) e das horas médias de luz D_m.
A fórmula usada foi
\delta = 23{,}45^\circ\sin\!\left(\frac{360^\circ(284+n)}{365}\right),
com n = 15, 46, 74, 105, 135, 166, 196, 227, 258, 288, 319, 349 para Jan…Dez. Em seguida
D = \frac{24}{\pi}\operatorname{arccos}\!\big(-\tan\varphi\;\tan\delta\big),
com \varphi=-20^\circ.
Resultados aproximados (declinação \delta em graus e D em horas):
\begin{array}{lll} \text{Jan: } \delta\approx -21{,}27^\circ,& D\approx 13{,}09\\ \text{h},\\\ \text{Fev: } \delta\approx -13{,}31^\circ,& D\approx 12{,}66\\ \text{h},\\\ \text{Mar: } \delta\approx -2{,}82^\circ,& D\approx 12{,}14\\ \text{h},\\\ \text{Abr: } \delta\approx 9{,}42^\circ,& D\approx 11{,}54\\ \text{h},\\\ \text{Mai: } \delta\approx 18{,}85^\circ,& D\approx 11{,}05\\ \text{h},\\\ \text{Jun: } \delta\approx 23{,}33^\circ,& D\approx 10{,}80\\ \text{h},\\\ \text{Jul: } \delta\approx 21{,}55^\circ,& D\approx 10{,}90\\ \text{h},\\\ \text{Ago: } \delta\approx 13{,}78^\circ,& D\approx 11{,}32\\ \text{h},\\\ \text{Set: } \delta\approx 2{,}21^\circ,& D\approx 11{,}90\\ \text{h},\\\ \text{Out: } \delta\approx -9{,}79^\circ,& D\approx 12{,}48\\ \text{h},\\\ \text{Nov: } \delta\approx -19{,}33^\circ,& D\approx 12{,}98\\ \text{h},\\\ \text{Dez: } \delta\approx -23{,}33^\circ,& D\approx 13{,}20\\ \text{h}. \end{array}
Nota: os D_m são usados na fórmula de Thornthwaite como fator \frac{D_m}{12}.

Passo 6

Cálculo das evapotranspirações mensais \mathrm{ETP}_m com a fórmula
\mathrm{ETP}_m = 16\left(\frac{10\,T_m}{I}\right)^{a}\cdot \frac{D_m}{12}\cdot \frac{n_m}{30},
onde n_m são os dias do mês (Jan 31, Fev 28, Mar 31, Abr 30, Mai 31, Jun 30, Jul 31, Ago 31, Set 30, Out 31, Nov 30, Dez 31).
Vou mostrar a conta de janeiro em detalhe e depois os resultados mensais:
Janeiro (detalhado):
\frac{10\,T_{\text{Jan}}}{I}=\frac{10\cdot 24{,}3}{120{,}42}\approx 2{,}018,
\left(\frac{10\,T_{\text{Jan}}}{I}\right)^{a}\approx (2{,}018)^{2{,}7115}\approx 6{,}73,
16\cdot 6{,}73 \approx 107{,}7,
fatores de correção:
\frac{D_{\text{Jan}}}{12}=\frac{13{,}09}{12}\approx 1{,}0908,\qquad \frac{n_{\text{Jan}}}{30}=\frac{31}{30}\approx 1{,}0333.
Multiplicando:
\mathrm{ETP}_{\text{Jan}}\approx 107{,}7\cdot 1{,}0908\cdot 1{,}0333 \approx 121{,}3\\ \text{mm}.
Agora os valores calculados para todos os meses (arredondados com uma casa decimal):
\begin{array}{ll} \mathrm{ETP}_{\text{Jan}}\approx 121{,}3\\ \text{mm}, & \mathrm{ETP}_{\text{Fev}}\approx 110{,}3\\ \text{mm},\\[2pt] \mathrm{ETP}_{\text{Mar}}\approx 113{,}5\\ \text{mm}, & \mathrm{ETP}_{\text{Abr}}\approx 99{,}8\\ \text{mm},\\[2pt] \mathrm{ETP}_{\text{Mai}}\approx 81{,}9\\ \text{mm}, & \mathrm{ETP}_{\text{Jun}}\approx 75{,}9\\ \text{mm},\\[2pt] \mathrm{ETP}_{\text{Jul}}\approx 69{,}6\\ \text{mm}, & \mathrm{ETP}_{\text{Ago}}\approx 70{,}2\\ \text{mm},\\[2pt] \mathrm{ETP}_{\text{Set}}\approx 80{,}6\\ \text{mm}, & \mathrm{ETP}_{\text{Out}}\approx 93{,}5\\ \text{mm},\\[2pt] \mathrm{ETP}_{\text{Nov}}\approx 96{,}6\\ \text{mm}, & \mathrm{ETP}_{\text{Dez}}\approx 115{,}6\\ \text{mm}. \end{array}]

Passo 7

Verificação rápida e interpretação:
  • A soma anual das ETP mensais resulta em aproximadamente
\sum_{m=1}^{12}\mathrm{ETP}_m \approx 1\,128{,}8\\ \text{mm/ano},
valor coerente para clima quente/subtropical.
  • Note que os meses mais quentes e com maior dia (Jan, Dez) têm ETP maiores; os meses de inverno (Jun, Jul) têm ETP menores — esse comportamento é esperado em Thornthwaite porque depende tanto da temperatura quanto da duração do dia.

Resposta

Jan: 121{,}3\\ \mathrm{mm}
Fev: 110{,}3\\ \mathrm{mm}
Mar: 113{,}5\\ \mathrm{mm}
Abr: 99{,}8\\ \mathrm{mm}
Mai: 81{,}9\\ \mathrm{mm}
Jun: 75{,}9\\ \mathrm{mm}
Jul: 69{,}6\\ \mathrm{mm}
Ago: 70{,}2\\ \mathrm{mm}
Set: 80{,}6\\ \mathrm{mm}
Out: 93{,}5\\ \mathrm{mm}
Nov: 96{,}6\\ \mathrm{mm}
Dez: 115{,}6\\ \mathrm{mm}

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