Uma força de 500 N é aplicada sobre um fio de comprimento 4 m e área transversal circular de 2 \mathrm{~mm}^{2}.
Em reação, o fio é esticado por 5 mm , e o diâmetro diminui por 0,04%. Calcule o módulo de compressibilidade.
Escolha uma opção:
75,8 \mathrm{Gpa}
◯ 128 Gpa
◯ 185 Gpa
◯ 200 Gpa

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Força aplicada: \,F=500\\ \mathrm{N}.
    • Comprimento inicial do fio: \,L=4\\ \mathrm{m}.
    • Área da seção transversal (circular): \,A=2\\ \mathrm{mm}^2.
    • Alongamento do fio: \,\Delta L=5\\ \mathrm{mm}.
    • Diminuição do diâmetro: \,0{,}04\% (ou seja, o diâmetro diminui 0{,}04\% em relação ao valor inicial).
  • O enunciado pede: calcular o módulo de compressibilidade. (Usarei a interpretação padrão em mecânica dos sólidos de que isso se refere ao módulo volumétrico ou módulo de compressibilidade inverso, isto é, ao módulo volumétrico também chamado de módulo volumétrico de elasticidade — normalmente denotado por \,K.)

Passo 2

Converter unidades para o Sistema Internacional e calcular a tensão axial (tensão normal) \sigma.
  • Converter a área: \,A=2\\ \mathrm{mm}^2 = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • A tensão axial é definida por \displaystyle \sigma=\frac{F}{A}, onde:
    • \sigma é a tensão (Pa),
    • F é a força (N),
    • A é a área (m ^2).
Calcule:
\sigma=\frac{500}{2\times10^{-6}}=\frac{500}{2\cdot10^{-6}}=250\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=2{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Calcular a deformação axial (deformação longitudinal) \varepsilon_{\text{axial}}.
  • A deformação axial é \displaystyle \varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\Delta L}{L}, onde:
    • \Delta L é o alongamento (m),
    • L é o comprimento inicial (m).
Converter \Delta L: \,5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
Calcule:
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{0{,}005}{4}=0{,}00125.

Passo 4

Calcular o módulo de Young E a partir da relação linear tensão-deformação (Lei de Hooke na faixa elástica):
  • Para deformações elásticas uniaxiais, \displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{axial}}}, onde:
    • E é o módulo de Young (Pa),
    • \sigma é a tensão axial (Pa),
    • \varepsilon_{\text{axial}} é a deformação axial (adimensional).
Calcule usando os valores dos passos anteriores:
E=\frac{2{,}5\times10^{8}}{0{,}00125}=\frac{2{,}5\times10^{8}}{1{,}25\times10^{-3}}=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades práticas:
E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}=200\\ \mathrm{GPa}.

Passo 5

Determinar a razão de Poisson \nu a partir da contração lateral informada.
  • A variação percentual do diâmetro é 0{,}04\% de diminuição, ou seja, variação fracionária \Delta d/d=-0{,}0004.
  • A deformação lateral (transversal) \varepsilon_{\text{lat}} é a variação relativa do diâmetro: \varepsilon_{\text{lat}}=-0{,}0004.
  • A razão de Poisson é definida por \displaystyle \nu = -\frac{\varepsilon_{\text{lat}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}, em que o sinal menos faz com que \nu seja positivo quando há contração lateral para alongamento axial positivo.
Calcule:
\nu = -\frac{-0{,}0004}{0{,}00125}=\frac{0{,}0004}{0{,}00125}=0{,}32.

Passo 6

Relacionar o módulo de Young E, a razão de Poisson \nu e o módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) K.
  • Para um material elástico isotrópico, as constantes elásticas relacionam-se por:
K=\frac{E}{3(1-2\nu)},
onde:
  • K é o módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) em Pa,
  • E é o módulo de Young em Pa,
  • \nu é a razão de Poisson (adimensional).
Expliquei rapidamente: K mede a resistência do material à variação volumétrica sob pressão hidrostática; a fórmula acima é uma relação padrão da elasticidade linear isotrópica.

Passo 7

Substituir os valores de E e \nu para calcular K.
  • Já temos E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} e \nu=0{,}32.
  • Calcule o denominador:
3(1-2\nu)=3\bigl(1-2\cdot0{,}32\bigr)=3(1-0{,}64)=3\cdot0{,}36=1{,}08.
  • Agora:
K=\frac{2{,}0\times10^{11}}{1{,}08}=1{,}85185185\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando para unidades práticas:
K\approx1{,}85\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}=185\\ \mathrm{GPa}.

Resposta

185\\ \mathrm{GPa}

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