Questão 1 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
Cálcio é um metal que cristaliza na estrutura fcc (face centered cubic), uma estrutura cúbica com átomos nos cantos e nos centros das faces.
A densidade de cálcio é 1,55 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a massa atômica é 40,078 u ( 1 \mathrm{u}=1,66053892 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg} ).
Quanto é o raio atômico de cálcio?
Escolha uma opção:
196,5 \mathrm{pm}
267,2 \mathrm{pm}
196,5 \mathrm{~nm}
267,2 \mathrm{~nm}
144,1 \mathrm{pm}
144,1 \mathrm{~nm}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que o cálcio cristaliza em estrutura cúbica face centered cubic (fcc), ou seja, átomos nos 8 cantos e nos 6 centros de face do cubo.
  • Dá a densidade: 1,55\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Dá a massa atômica: 40,078\\ \mathrm{u}.
  • Dá a constante de conversão: 1\\ \mathrm{u}=1,66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
O enunciado pede: calcular o raio atômico do cálcio (dar em unidades compatíveis com as opções).

Passo 2

Quantas átomos há por cela unitária em fcc e massa da cela unitária.
  • Em fcc há exatamente 4 átomos efetivos por cela unitária (cada canto contribui com 1/8 de um átomo e há 8 cantos; cada face contribui com 1/2 de um átomo e há 6 faces: 8\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{1}{2}=1+3=4).
  • A massa de uma cela unitária é então m_{\text{cela}} = 4\cdot m_{\text{átomo}}á.
Agora converto a massa atômica dada em kg por átomo. Defino as variáveis usadas:
  • A = massa atômica em unidades u (aqui A=40,078).
  • m_u = massa de 1\\ \mathrm{u} em kg (aqui m_u=1,66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg}).
  • m_{\text{átomo}} = A\cdot m_uá.
Faço a conta:
m_{\text{átomo}} = 40,078 \times 1,66053892\cdot10^{-27}\\ \mathrm{kg} = 6,655107883576\cdot10^{-26}\\ \mathrm{kg}.á
Portanto
m_{\text{cela}} = 4\cdot m_{\text{átomo}} = 4\times 6,655107883576\cdot10^{-26} = 2,6620431534304\cdot10^{-25}\\ \mathrm{kg}.á

Passo 3

Relação entre densidade, massa e volume da cela e conversões de unidades.
  • Definição de densidade: \rho = \dfrac{m}{V}, onde m é massa e V é volume. Aqui aplicamos à cela unitária: \rho = \dfrac{m_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}}.
  • Queremos o volume da cela: V_{\text{cela}}=\dfrac{m_{\text{cela}}}{\rho}.
Primeiro, converto a densidade dada para SI:
1,55\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1,55\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 1550\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora calculo o volume da cela:
V_{\text{cela}}=\dfrac{2,6620431534304\cdot10^{-25}\\ \mathrm{kg}}{1550\\ \mathrm{kg/m^{3}}} =1,7174446176615484\cdot10^{-28}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Obter o parâmetro de rede a (aresta do cubo) a partir do volume da cela.
  • A cela unitária é um cubo de aresta a, logo V_{\text{cela}}=a^{3}.
  • Portanto a = \sqrt[3]{V_{\text{cela}}}.
Faço a extração da raiz cúbica:
a=\sqrt[3]{1,7174446176615484\cdot10^{-28}}\approx 5,559\cdot10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Para ficar em picómetros (pm): 1\\ \mathrm{m}=10^{12}\\ \mathrm{pm}, então
a\approx 5,559\cdot10^{-10}\\ \mathrm{m}=555,9\\ \mathrm{pm}.

Passo 5

Relação entre a e o raio atômico r em estrutura fcc (explicação física).
  • Nas estruturas fcc os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2}.
  • Ao longo dessa diagonal passam 2 raios do átomo de um canto, mais 2 raios do átomo do centro de face, formando no total 4r (os dois átomos se tocam pelo diâmetro combinado). Assim:
a\sqrt{2}=4r.
  • Logo isolando r:
r=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}=\dfrac{a}{2\sqrt{2}}.
Expliquei: a\sqrt{2} é a distância entre os cantos opostos de uma face; como dois átomos completos (diâmetros somados) ocupam essa distância, o fator 4r aparece.

Passo 6

Calcular o raio r substituindo o valor de a.
Uso a fórmula:
r=\dfrac{a}{2\sqrt{2}}.
Substituindo a\approx 5,559\cdot10^{-10}\\ \mathrm{m}:
r=\dfrac{5,559\cdot10^{-10}}{2\sqrt{2}}\\ \mathrm{m} =\dfrac{5,559\cdot10^{-10}}{2,8284271247461903}\\ \mathrm{m} \approx 1,965\cdot10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para picômetros:
r\approx 1,965\cdot10^{-10}\\ \mathrm{m}=196,5\\ \mathrm{pm}.

Passo 7

Interpretação final e verificação com as opções.
  • O cálculo dá r\approx 196,5\\ \mathrm{pm}, que é exatamente uma das opções oferecidas.

Resposta

196,5\\ \mathrm{pm}

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