O níquel cristaliza em uma estrutura cúbica de faces centradas com uma célula unitária de aresta 349,9 \mathrm{pm}.
Calcule a distância entre os planos sucessivos da família \left\{\begin{array}{lll}3 & 1 & 1\end{array}\right\}.
Escolha uma opção:
◯ 284 pm
◯ 105 pm
◯ 202 pm
◯ 148 pm

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: a aresta da cela cúbica de faces centradas (FCC) é a=349{,}9\\ \mathrm{pm}.
  • Pedido: calcular a distância entre planos sucessivos da família \{3\,1\,1\}, isto é, o espaçamento interplanar d_{311}.
  • Observação: a questão é de geometria de redes cristalinas — pede o valor numérico de d_{311} em picometros para comparar com as opções.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: para uma rede cúbica (qualquer cúbica, inclusive FCC) a distância entre planos (hkl) é dada por
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}},
onde:
  • d_{hkl} é a distância entre planos consecutivos da família (hkl);
  • a é a aresta da cela unitária;
  • h,k,l são os índices de Miller do plano.
Explicando por que essa fórmula vale (de forma simples): em uma rede cúbica os vetores de base têm comprimento a e são ortogonais; a componente do vetor recíproco associada a (hkl) tem magnitude proporcional a \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}/a, e o espaçamento é o inverso dessa magnitude, levando à fórmula acima. Não precisamos alterar a fórmula para FCC — a geometria cúbica determina d_{hkl}; regras de seleção de planos (reflexões permitidas) não mudam o espaçamento.

Passo 3

Aplicando aos índices (h,k,l)=(3,1,1). Primeiro calculemos o somatório dos quadrados:
h^{2}+k^{2}+l^{2}=3^{2}+1^{2}+1^{2}=9+1+1=11.

Passo 4

Agora precisamos de \sqrt{11}. Podemos aproximar sem calculadora lembrando alguns quadrados:
  • 3{,}3^{2}=10{,}89,
  • 3{,}32^{2}=11{,}0224.
Portanto \sqrt{11} está entre 3{,}3 e 3{,}32; uma boa aproximação é
\sqrt{11}\approx3{,}3166.

Passo 5

Calcule d_{311} usando a fórmula:
d_{311}=\frac{a}{\sqrt{11}}=\frac{349{,}9\\ \mathrm{pm}}{3{,}3166}.
Para dividir manualmente: 3{,}3166\times100=331{,}66\\ \mathrm{pm}. Resta 349{,}9-331{,}66=18{,}24\\ \mathrm{pm}. Agora 3{,}3166\times5{,}5\approx18{,}24\\ \mathrm{pm}. Assim 100+5{,}5=105{,}5. Logo
d_{311}\approx105{,}5\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Arredondando ao valor prático e comparando com as opções dadas, obtemos
d_{311}\approx105\\ \mathrm{pm}.

Resposta

105\\ \mathrm{pm}

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