Quando uma força de amortecimento está presente, as oscilações de um sistema bloco- mola são descritas pela função x(t)=A e^{-\frac{b t}{2 m}} \cos (\omega t+\theta) em que b é a constante de amortecimento proporcional à velocidade do sistema fada por F_{r}=-b v onde b é a constante de amortecimento.
Mostre que a frequência angular é dada por \omega=\sqrt{\frac{b^{2}}{4 m^{2}}-\frac{k}{m}} e descreva os três casos onde \omega<0; \omega>0 e \omega=0.

Passo 1

O enunciado dá a forma da solução amortecida
x(t)=A e^{-\frac{b t}{2 m}} \cos(\omega t+\theta),
onde A e \theta são constantes de amplitude e fase, m é a massa do bloco, k é a constante da mola e b é a constante de amortecimento que aparece na força viscosa F_{r}=-b v. O problema pede duas coisas: (1) mostrar a expressão da frequência angular \omega em termos de m, b e k; (2) descrever os três casos possíveis (os comportamentos do sistema) correspondentes a \omega<0, \omega>0 e \omega=0. As informações relevantes dadas são portanto: a forma da solução apresentada, a força de amortecimento proporcional à velocidade e as constantes m, b, k.

Passo 2

Escrevendo as forças e aplicando a segunda lei de Newton: a força da mola é -kx e a força de amortecimento é -b\dot{x}. A soma das forças é
F = -kx - b\dot{x}.
Pela segunda lei de Newton m\ddot{x}=F. Logo obtemos a equação diferencial do movimento:
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0.
Aqui \ddot{x} é a segunda derivada de x em relação ao tempo (aceleração) e \dot{x} é a derivada primeira (velocidade). Esta equação é linear homogênea de coeficientes constantes — padrão para um oscilador massa-mola com amortecimento.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea tentamos a solução exponencial \displaystyle x(t)=e^{\lambda t}. Substituindo na equação diferencial temos
m\lambda^{2}e^{\lambda t} + b\lambda e^{\lambda t} + k e^{\lambda t} = 0.
Como e^{\lambda t}\neq 0, obtemos a equação característica (quadrática) em \lambda:
m\lambda^{2} + b\lambda + k = 0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 m k}}{2m}.
É conveniente reescrever o discriminante em termos de \dfrac{b}{2m} e \dfrac{k}{m}. Dividindo por m^{2} dentro da raiz:
\lambda = -\frac{b}{2m} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2m}\right)^{2} - \frac{k}{m}}.
Definimos o discriminante adimensional
\Delta \equiv \left(\frac{b}{2m}\right)^{2} - \frac{k}{m}.
Assim as raízes são \lambda = -\dfrac{b}{2m} \pm \sqrt{\Delta}.

Passo 5

Agora interpretamos \Delta. Existem três possibilidades para \Delta: positiva, nula ou negativa. Cada caso dá um tipo de solução e comportamento diferente:
  • Se \Delta<0, então a raiz dentro da raiz é negativa e as duas raízes \lambda são complexas conjugadas. Escrevendo \Delta = -\omega^{2} com \omega>0 (isto é, \omega^{2}=-\Delta>0), temos
\lambda = -\frac{b}{2m} \pm i\omega.
As soluções correspondentes combinam exponenciais e senos/cossenos dando a forma real
x(t)=e^{-\frac{b}{2m}t}\left(C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t)\right).
Escolhendo constantes para escrever como amplitude-fase obtemos exatamente a forma dada no enunciado
x(t)=A e^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\theta).
Comparando com a definição \Delta = -\omega^{2} e lembrando \Delta=\left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}-\dfrac{k}{m}, isolamos \omega:
\omega^{2} = \frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^{2}.
Portanto, para o caso oscilatório (as raízes complexas), a frequência angular (positiva) é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{4m^{2}}}.
Observação didática: \omega aqui é o que chamamos de frequência angular amortecida; ela é menor que a frequência natural \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}} da mola livre, porque o amortecimento reduz a frequência de oscilação.

Passo 6

Agora explicitamos claramente os três casos e o que acontece em cada um (a linguagem é informal para te animar):
  • Caso 1 — subamortecimento (oscilações amortecidas): quando \Delta<0, isto é
\frac{k}{m} > \frac{b^{2}}{4m^{2}} \quad\text{ou}\quad b^{2} < 4mk.
Então \omega definido acima é real e positivo ( \omega>0). O movimento é oscilatório com amplitude que decai exponencialmente com fator \exp\big(-\tfrac{b}{2m}t\big). Esse é o caso descrito pela forma x(t)=A e^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\theta).
  • Caso 2 — amortecimento crítico: quando \Delta=0, isto é
\frac{k}{m} = \frac{b^{2}}{4m^{2}} \quad\text{ou}\quad b^{2} = 4mk.
Aqui as duas raízes \lambda coincidem em \lambda=-\dfrac{b}{2m}. A solução geral não tem cosseno oscilatório; em vez disso temos uma combinação do tipo
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\frac{b}{2m}t}.
Este é o limite entre oscilações e decaimento puro: o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar, da forma mais rápida possível sem oscilar.
  • Caso 3 — sobreamortecimento (sem oscilações): quando \Delta>0, isto é
\frac{k}{m} < \frac{b^{2}}{4m^{2}} \quad\text{ou}\quad b^{2} > 4mk.
As raízes \lambda são reais e distintas:
\lambda_{1}=-\frac{b}{2m} + \sqrt{\Delta},\qquad \lambda_{2}=-\frac{b}{2m} - \sqrt{\Delta}.
A solução é soma de duas exponenciais decrescentes
x(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t} + C_{2}e^{\lambda_{2}t},
não há termo seno/cosseno, logo nenhuma oscilação — o retorno ao equilíbrio é monotônico e tipicamente mais lento do que no caso crítico.

Passo 7

Resumo didático rápido sobre interpretação de sinais: muitas vezes se escreve a expressão sob a raiz como \omega^{2}=\dfrac{k}{m}-\dfrac{b^{2}}{4m^{2}}. Se \omega^{2}>0 então \omega é real e positivo (caso oscilatório). Se \omega^{2}=0 então \omega=0 (amortecimento crítico). Se \omega^{2}<0 a quantidade \omega seria imaginária e a solução não é oscilatória (sobreamortecido). Portanto é mais consistente definir \omega pela fórmula do Passo 5; a fórmula que aparece no enunciado com sinais trocados provavelmente é só uma inversão de termos — a forma correta para a frequência angular amortecida é a que encontramos.

Resposta

\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^{2}}{4m^{2}}}.
\displaystyle Caso \omega>0 (ou seja b^{2}<4mk): subamortecimento — oscilações amortecidas com fator exponencial e^{-\frac{b}{2m}t}.
\displaystyle Caso \omega=0 (ou seja b^{2}=4mk): amortecimento crítico — retorno ao equilíbrio sem oscilar, solução (C_{1}+C_{2}t)e^{-\frac{b}{2m}t}.
\displaystyle Caso \omega imaginário (equivalente a “ \omega^{2}<0”, ou seja b^{2}>4mk): sobreamortecimento — não há oscilações, solução soma de duas exponenciais decrescentes.

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