Quando uma força de amortecimento está presente, as oscilações de um sistema bloco- mola são descritas pela função
em que
é a constante de amortecimento proporcional à velocidade do sistema fada por
onde
é a constante de amortecimento.
Mostre que a frequência angular é dada por
e descreva os três casos onde
;
e
.
Passo 1
O enunciado dá a forma da solução amortecida
onde
e
são constantes de amplitude e fase,
é a massa do bloco,
é a constante da mola e
é a constante de amortecimento que aparece na força viscosa
. O problema pede duas coisas: (1) mostrar a expressão da frequência angular
em termos de
,
e
; (2) descrever os três casos possíveis (os comportamentos do sistema) correspondentes a
,
e
. As informações relevantes dadas são portanto: a forma da solução apresentada, a força de amortecimento proporcional à velocidade e as constantes
,
,
.
Passo 2
Escrevendo as forças e aplicando a segunda lei de Newton: a força da mola é
e a força de amortecimento é
. A soma das forças é
Pela segunda lei de Newton
. Logo obtemos a equação diferencial do movimento:
Aqui
é a segunda derivada de
em relação ao tempo (aceleração) e
é a derivada primeira (velocidade). Esta equação é linear homogênea de coeficientes constantes — padrão para um oscilador massa-mola com amortecimento.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea tentamos a solução exponencial
. Substituindo na equação diferencial temos
Como
, obtemos a equação característica (quadrática) em
:
Passo 4
Resolvendo a quadrática pela fórmula de Bhaskara:
É conveniente reescrever o discriminante em termos de
e
. Dividindo por
dentro da raiz:
Definimos o discriminante adimensional
Assim as raízes são
.
Passo 5
Agora interpretamos
. Existem três possibilidades para
: positiva, nula ou negativa. Cada caso dá um tipo de solução e comportamento diferente:
- Se
, então a raiz dentro da raiz é negativa e as duas raízes são complexas conjugadas. Escrevendo com (isto é, ), temos
As soluções correspondentes combinam exponenciais e senos/cossenos dando a forma real
Escolhendo constantes para escrever como amplitude-fase obtemos exatamente a forma dada no enunciado
Comparando com a definição
e lembrando
, isolamos
:
Portanto, para o caso oscilatório (as raízes complexas), a frequência angular (positiva) é
Observação didática:
aqui é o que chamamos de frequência angular amortecida; ela é menor que a frequência natural
da mola livre, porque o amortecimento reduz a frequência de oscilação.
Passo 6
Agora explicitamos claramente os três casos e o que acontece em cada um (a linguagem é informal para te animar):
- Caso 1 — subamortecimento (oscilações amortecidas): quando
, isto é
Então
definido acima é real e positivo (
). O movimento é oscilatório com amplitude que decai exponencialmente com fator
. Esse é o caso descrito pela forma
.
- Caso 2 — amortecimento crítico: quando
, isto é
Aqui as duas raízes
coincidem em
. A solução geral não tem cosseno oscilatório; em vez disso temos uma combinação do tipo
Este é o limite entre oscilações e decaimento puro: o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar, da forma mais rápida possível sem oscilar.
- Caso 3 — sobreamortecimento (sem oscilações): quando
, isto é
As raízes
são reais e distintas:
A solução é soma de duas exponenciais decrescentes
não há termo seno/cosseno, logo nenhuma oscilação — o retorno ao equilíbrio é monotônico e tipicamente mais lento do que no caso crítico.
Passo 7
Resumo didático rápido sobre interpretação de sinais: muitas vezes se escreve a expressão sob a raiz como
. Se
então
é real e positivo (caso oscilatório). Se
então
(amortecimento crítico). Se
a quantidade
seria imaginária e a solução não é oscilatória (sobreamortecido). Portanto é mais consistente definir
pela fórmula do Passo 5; a fórmula que aparece no enunciado com sinais trocados provavelmente é só uma inversão de termos — a forma correta para a frequência angular amortecida é a que encontramos.