1. Galileu Galilei, ao estudar a queda dos corpos acelerados, chegou à conclusão de que esses deveriam percorrer distâncias de queda na ordem temporal consecutiva dos números ímpares sucessivos: 1,3,5, 7 , …, ou seja, 1,1+3,1+3+5, \ldots Raciocinando assim, Galileu, através de inúmeros experimentos envolvendo planos inclinados, chegou a uma formulação de uma função para a queda acelerada dos corpos. Considerando k uma constante de proporcionalidade qualquer, d a distância percorrida na queda e t o tempo transcorrido, essa função pode ser escrita como:
    a) d=k t^{3}
    b) d=k \ln t
    c) d=k(t+2)
    d) d=k t^{2}
    e) d=k(t / 2)

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha, entre as alternativas dadas, a expressão correta que relaciona a distância percorrida d por um corpo em queda com o tempo transcorrido t, sabendo que Galileu observou que as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais seguem a sequência dos números ímpares sucessivos 1,3,5,7,\ldots. Informações relevantes dadas:
\text{Sequência de incrementos por intervalos iguais de tempo: }1,3,5,7,\ldotsê
\text{Constante de proporcionalidade: }k
\text{Distância total percorrida: }dâ
\text{Tempo transcorrido: }t
As alternativas são:
a) \,d=k t^{3}\,
b) \,d=k \ln t\,
c) \,d=k(t+2)\,
d) \,d=k t^{2}\,
e) \,d=k(t/2)\,

Passo 2

Entender o que significa a sequência de ímpares no contexto do movimento: Galileu disse que, em intervalos de tempo iguais, o acréscimo de distância no primeiro intervalo é 1, no segundo é 3, no terceiro é 5 e assim por diante. Se medirmos o tempo em unidades desses intervalos iguais, então após n desses intervalos (isto é, para t=n onde n é inteiro positivo) a distância total d será a soma dos primeiros n números ímpares:
d = k\big(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)\big).
Note que o fator k aparece porque o enunciado já coloca uma constante de proporcionalidade qualquer — ela apenas escala as unidades (por exemplo, transforma a soma pura de ímpares em metros).

Passo 3

Agora vou ensinar e calcular a soma dos primeiros n números ímpares. Essa é uma identidade clássica e simples de provar. Seja
S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1).
Calculamos usando soma de termos aritméticos. Primeiro escrevemos cada termo como 2i-1 com i indo de 1 até n:
S_n = \sum_{i=1}^{n} (2i-1).
Separamos a soma em duas partes:
S_n = 2\sum_{i=1}^{n} i \;-\; \sum_{i=1}^{n} 1.
Sabemos a fórmula da soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2},
e claramente \sum_{i=1}^{n} 1 = n. Substituindo:
S_n = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2.
Portanto, a soma dos n primeiros números ímpares é exatamente n^2. (Intuição geométrica: empilhando camadas ímpares você forma quadrados.)

Passo 4

Voltando ao problema: para t=n (tempo medido em unidades dos intervalos iguais), a distância total é
d = k S_n = k n^2.
Como n é o número de unidades de tempo, ou seja n=t, obtemos
d = k t^2.
Isso mostra que a distância cresce com o quadrado do tempo. Outra forma de ver isso, que aparece também na física clássica, é que para aceleração constante e partindo do repouso a relação entre distância e tempo é quadrática ( d=\tfrac{1}{2}at^2); aqui o k generaliza esse fator \tfrac{1}{2}a.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão correta é a alternativa (d), pois é a que que coincide com a relação d = k t^2 que acabamos de deduzir a partir da soma dos números ímpares.

Resposta

(d) \,d=k t^{2}

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