- Galileu Galilei, ao estudar a queda dos corpos acelerados, chegou à conclusão de que esses deveriam percorrer distâncias de queda na ordem temporal consecutiva dos números ímpares sucessivos:
, 7 , …, ou seja,
Raciocinando assim, Galileu, através de inúmeros experimentos envolvendo planos inclinados, chegou a uma formulação de uma função para a queda acelerada dos corpos. Considerando k uma constante de proporcionalidade qualquer, d a distância percorrida na queda e t o tempo transcorrido, essa função pode ser escrita como:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha, entre as alternativas dadas, a expressão correta que relaciona a distância percorrida
por um corpo em queda com o tempo transcorrido
, sabendo que Galileu observou que as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais seguem a sequência dos números ímpares sucessivos
. Informações relevantes dadas:
As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Entender o que significa a sequência de ímpares no contexto do movimento: Galileu disse que, em intervalos de tempo iguais, o acréscimo de distância no primeiro intervalo é
, no segundo é
, no terceiro é
e assim por diante. Se medirmos o tempo em unidades desses intervalos iguais, então após
desses intervalos (isto é, para
onde
é inteiro positivo) a distância total
será a soma dos primeiros
números ímpares:
Note que o fator
aparece porque o enunciado já coloca uma constante de proporcionalidade qualquer — ela apenas escala as unidades (por exemplo, transforma a soma pura de ímpares em metros).
Passo 3
Agora vou ensinar e calcular a soma dos primeiros
números ímpares. Essa é uma identidade clássica e simples de provar. Seja
Calculamos usando soma de termos aritméticos. Primeiro escrevemos cada termo como
com
indo de
até
:
Separamos a soma em duas partes:
Sabemos a fórmula da soma dos primeiros
inteiros:
e claramente
. Substituindo:
Portanto, a soma dos
primeiros números ímpares é exatamente
. (Intuição geométrica: empilhando camadas ímpares você forma quadrados.)
Passo 4
Voltando ao problema: para
(tempo medido em unidades dos intervalos iguais), a distância total é
Como
é o número de unidades de tempo, ou seja
, obtemos
Isso mostra que a distância cresce com o quadrado do tempo. Outra forma de ver isso, que aparece também na física clássica, é que para aceleração constante e partindo do repouso a relação entre distância e tempo é quadrática (
); aqui o
generaliza esse fator
.
Passo 5
Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão correta é a alternativa (d), pois é a que que coincide com a relação
que acabamos de deduzir a partir da soma dos números ímpares.
Resposta
(d)