1. Cerca de cem anos antes de Galileu, Leonardo da Vinci acreditava também que os corpos caíam de forma acelerada (e não com velocidades uniformes determinadas por seus pesos, como se acreditava desde Aristóteles). Da Vinci imaginava que a distância percorrida d seguia a ordem temporal dos números inteiros sucessivos 1. 2. 3, 4, … ou seja. 1. 1+2, 1+2+3, \ldots Considerando k uma constante de proporcionalidade qualquer, d a distância percorrida na queda e t o tempo transcorrido, essa função pode ser descrita como:
    a) d=\left(k t^{3}\right) / 3
    b) d=k t^{2}
    c) d=k e^{t}
    d) d=k t
    e) d=(k / 2)\left(t^{2}+t\right)

Passo 1

O enunciado diz que Leonardo supôs que, em quedas, a distância percorrida em cada unidade de tempo segue a sequência dos inteiros sucessivos 1,2,3,4,\ldots. Foi dito também que existe uma constante de proporcionalidade qualquer k, que d é a distância total percorrida na queda e que t é o tempo transcorrido. A pergunta pede que identifiquemos qual das alternativas dadas expressa corretamente a relação entre d e t.
Informações relevantes do enunciado:
  • Em cada intervalo de tempo unitário a distância percorrida é proporcional a 1,2,3,\ldots.
  • Após t intervalos (assumindo t inteiro positivo), a distância total é a soma dessas quantidades multiplicada por k.
  • Variáveis dadas: k (constante), d (distância total), t (tempo, número de intervalos).

Passo 2

Vamos escrever matematicamente a ideia de soma das distâncias por unidade de tempo. Se em cada unidade os trechos são 1,2,\dots,t, então a soma das distâncias (antes de multiplicar por k) é
1+2+3+\cdots+t.
Denotando essa soma por S, temos
S = 1+2+3+\cdots+t.
A distância total d será, então,
d = k\cdot S.
Agora precisamos calcular S em função de t.

Passo 3

Vamos achar uma fórmula fechada para a soma S=1+2+\cdots+t. Um método clássico (o de emparelhar termos) funciona assim:
Escrevemos a soma na ordem normal e na ordem inversa:
S = 1+2+3+\cdots+(t-1)+t,
S = t+(t-1)+(t-2)+\cdots+2+1.
Somando termo a termo as duas expressões obtemos
2S = (t+1)+(t+1)+(t+1)+\cdots+(t+1),
onde o termo (t+1) aparece t vezes. Portanto
2S = t\,(t+1).
Isolando S,
S = \frac{t(t+1)}{2}.
Explicando passo a passo: emparelhamos o primeiro com o último 1+t, o segundo com o penúltimo 2+(t-1)=t+1, etc.; há t pares iguais, por isso 2S=t(t+1). Essa é a fórmula padrão para a soma dos primeiros t inteiros positivos.

Passo 4

Voltando para a distância total, lembre que d = k\cdot S. Substituindo a fórmula de S obtemos
d = k\cdot \frac{t(t+1)}{2}.
Podemos desenvolver o produto no numerador para deixar em forma polinomial:
d = \frac{k}{2}\bigl(t^{2}+t\bigr).
Essa é a expressão final que relaciona d e t segundo o modelo proposto por Leonardo.

Passo 5

Vamos checar rapidamente com exemplos pequenos para ter confiança: se t=1, então \,d=\dfrac{k}{2}(1^{2}+1)=\dfrac{k}{2}\cdot 2=k, que corresponde a só o primeiro trecho 1 multiplicado por k. Se t=3, então \,d=\dfrac{k}{2}(9+3)=\dfrac{k}{2}\cdot 12=6k, que é k(1+2+3)=6k. Está consistente.
Agora comparamos com as alternativas dadas. A alternativa que coincide com
d=\frac{k}{2}\bigl(t^{2}+t\bigr)
é a alternativa (e).

Resposta

e) \displaystyle d=\frac{k}{2}\bigl(t^{2}+t\bigr)

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