Se a força aplicada P faz com que o braço rígido ABC gire um ângulo de
no sentido horário sobre o pino A, determine a tensão normal desenvolvida nos cabos BD e CE. Considere o módulo de elasticidade dos cabos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um braço rígido ABC que está girando devido a uma força P aplicada. Queremos descobrir a tensão normal nos cabos BD e CE. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e mecânica dos materiais, como torque e elasticidade dos materiais. Precisamos entender como a força P provoca a rotação e como os cabos BD e CE equilibram essa força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa torque. Torque é a força que causa a rotação de um objeto em torno de um ponto. A fórmula do torque ($ \tau $) é:
onde $ F $ é a força aplicada e $ d $ é a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação.
Passo 3
Sabemos que o braço está girando $ 0,02^{\circ} $. Vamos converter esse ângulo para radianos para facilitar os cálculos, já que a maioria das fórmulas de torque trabalha com radianos.
Passo 4
Agora, vamos relacionar o torque causado pela força P com a tensão nos cabos BD e CE. Os cabos estão resistindo à rotação, gerando um torque que contrabalança o torque de P. A tensão nos cabos gera um torque dependendo da sua posição e do comprimento.
Passo 5
Considerando que os cabos BD e CE estão a uma distância $ L $ do eixo de rotação (pino A), a tensão $ T $ em cada cabo gera um torque:
Como são dois cabos, o torque total dos cabos é:
Passo 6
Para o equilíbrio, o torque causado pela força P deve ser igual ao torque total dos cabos:
Podemos rearranjar para encontrar a tensão T:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar a força P com o ângulo de rotação usando a elasticidade dos cabos. A deformação $ \delta $ nos cabos é dada por:
E a lei de Hooke para materiais elásticos é:
onde $ \sigma $ é a tensão, $ E $ é o módulo de elasticidade, e $ \varepsilon $ é a deformação.
Passo 8
A deformação $ \varepsilon $ também pode ser expressa como:
Então, substituindo na equação da tensão:
Resposta
A tensão normal desenvolvida nos cabos BD e CE é $ T = E \times \theta $. Substituindo os valores:
Portanto, a tensão nos cabos BD e CE é aproximadamente $ 6,98 \times 10^7 , N $.