Calcule a integral de linha \int_{C} F d r em que \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{e}^{x_{\mathrm{i}}}+\mathrm{e}^{y_{\mathrm{j}}}+\mathrm{e}^{z} \mathrm{k}; em que C é dada pela função vetorial r(t)=t i+t^{2} j+t^{3} k no intervalo 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y,z) = e^{x}\,\mathbf{i} + e^{y}\,\mathbf{j} + e^{z}\,\mathbf{k}
e a curva C é dada por \mathbf{r}(t) = t\,\mathbf{i} + t^{2}\,\mathbf{j} + t^{3}\,\mathbf{k},
para 0 \le t \le 2.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial não necessariamente conservativo, resolvida por parametrização: substituir \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}, calcular d\mathbf{r}, fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

Parametrizamos e calculamos d\mathbf{r}.
Como \mathbf{r}(t) = \langle t,\,t^{2},\,t^{3}\rangle, então
\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \langle 1,\,2t,\,3t^{2}\rangle
e
d\mathbf{r} = \langle 1,\,2t,\,3t^{2}\rangle\,dt.

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F} e fazemos o produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl\langle e^{t},\,e^{t^{2}},\,e^{t^{3}}\bigr\rangle,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} = e^{t}\cdot1 \;+\; e^{t^{2}}\cdot(2t)\;+\; e^{t^{3}}\cdot(3t^{2}).
Logo a integral fica
\int_{0}^{2}\Bigl(e^{t} + 2t\,e^{t^{2}} + 3t^{2}\,e^{t^{3}}\Bigr)\,dt.

Passo 4

Calculamos cada termo por substituição:
\int_{0}^{2} e^{t}\,dt = e^{t}\Big|_{0}^{2} = e^{2} - 1,
\int_{0}^{2} 2t\,e^{t^{2}}\,dt, \quad u = t^{2},\;du = 2t\,dt \;\Longrightarrow\; \int_{0}^{4} e^{u}\,du = e^{u}\Big|_{0}^{4} = e^{4} - 1,
\int_{0}^{2} 3t^{2}\,e^{t^{3}}\,dt, \quad v = t^{3},\;dv = 3t^{2}\,dt \;\Longrightarrow\; \int_{0}^{8} e^{v}\,dv = e^{v}\Big|_{0}^{8} = e^{8} - 1.

Passo 5

Somando os três resultados obtemos
(e^{2} - 1) + (e^{4} - 1) + (e^{8} - 1) = e^{2} + e^{4} + e^{8} - 3.

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = e^{2} + e^{4} + e^{8} - 3.

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