Uma força F_{x} atua sobre uma partícula que tem uma massa de 1,5 \mathrm{~kg}. A força está relacionada com a posição x da partícula pela formula F_{x}=C x^{3}, onde C=0,50 se x está em metros e F x está em Newtons. (a) Quais são as unidades SI de C? (b) Encontre o trabalho realizado por esta força enquanto a partícula se move de x=3,0 m até x=1,5 m. (c) Emx=3,0 m, a força tem um sentido oposto ao da velocidade da partícula
(velocidade de 12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ). Qual é sua velocidade em x=1,5 \mathrm{~m} ? Você pode, apenas com base no teorema do trabalhoenergia cinética, dizer qual é a orientação do movimento da partícula em \mathrm{x}=1,5 \mathrm{~m} ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=1,5\\ \mathrm{kg} sujeita a uma força variável em x dada por
F_{x}=C\,x^{3},
com C=0,50 quando x está em metros e F_{x} em newtons. Precisamos: (a) achar as unidades SI de C; (b) calcular o trabalho da força ao mover a partícula de x=3{,}0\\ \mathrm{m} até x=1{,}5\\ \mathrm{m}; (c) sabendo que em x=3{,}0\\ \mathrm{m} a força se opõe à velocidade inicial v_{i}=12{,}0\\ \mathrm{m/s}, usar o teorema trabalho–energia cinética para obter a nova velocidade em x=1{,}5\\ \mathrm{m} e discutir se podemos determinar a orientação do movimento nesse ponto.

Passo 2

Para (a), escrevemos
C=\frac{F_{x}}{x^{3}}.
Em SI F_{x} tem unidades de newton, isto é \mathrm{N}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m/s^{2}}, e x^{3} tem unidades \mathrm{m^{3}}. Logo
[C]=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^{3}}} =\frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m/s^{2}}}{\mathrm{m^{3}}} =\mathrm{kg}\,\mathrm{m^{-2}}\,\mathrm{s^{-2}}.

Passo 3

Para (b), o trabalho realizado pela força ao se deslocar de x=3{,}0 até x=1{,}5 é
W=\int_{x_{i}=3,0}^{x_{f}=1,5}F_{x}\,dx =\int_{3,0}^{1,5}C\,x^{3}\,dx =C\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{3,0}^{1,5} =\frac{C}{4}\bigl(1{,}5^{4}-3{,}0^{4}\bigr).
Calculando numericamente,
1{,}5^{4}=5{,}0625,\quad 3{,}0^{4}=81,\quad C=0{,}50,
então
W=\frac{0{,}50}{4}(5{,}0625-81)=-9{,}49\\ \mathrm{J}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Para (c), usamos o teorema trabalho–energia cinética:
W=\Delta K =\frac{1}{2}m\,v_{f}^{2}-\frac{1}{2}m\,v_{i}^{2}.
Isolando v_{f}:
v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+\frac{2W}{m} =12{,}0^{2}+\frac{2(-9{,}49)}{1,5} =144-12{,}65=131{,}35,
logo
v_{f}=\sqrt{131{,}35}\approx11{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Este método só fornece o valor de \lvert v_{f}\rvert, não o sinal. Como em x=3{,}0\\ \mathrm{m} a força estava se opondo à velocidade, ela atuou como desaceleradora. Mas v_{f}\neq0, ou seja, a partícula não inverteu o sentido: ainda se move no mesmo rumo inicial (que é em direção decrescente de x). O teorema, por si só, não dá a orientação, apenas a variação de energia cinética.

Resposta

(a) [C]=\mathrm{kg}\,\mathrm{m^{-2}}\,\mathrm{s^{-2}} (ou \mathrm{N/m^{3}}).
(b) W\approx-9,49\\ \mathrm{J}.
(c) \;v_{f}\approx11,5\\ \mathrm{m/s}.
A partir apenas do teorema trabalho–energia, obtém-se \lvert v_{f}\rvert; não o sinal. Sabendo que a força desacelerou sem que v zerasse, concluímos que a partícula segue no mesmo sentido (de x decrescente).

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