Se força, comprimento e tempo são selecionados como dimensões fundamentais, as unidades de massa no sistema SI seriam escritas de qual forma?

Passo 1

O enunciado pede: se tomarmos força, comprimento e tempo como dimensões fundamentais, como escrever as unidades de massa no Sistema Internacional (SI). Informações dadas:
  • As dimensões/quantidades assumidas como fundamentais são: força, comprimento e tempo.
  • Quer-se expressar a unidade de massa (o quilograma) em função dessas três grandezas.

Passo 2

Começamos com a relação física que liga força, massa e aceleração: F = m\,a.
  • Aqui F é a força (unidade no SI: newton, \mathrm{N}).
  • m é a massa (unidade no SI: quilograma, \mathrm{kg}).
  • a é a aceleração (unidade no SI: metro por segundo ao quadrado, \mathrm{m\,s^{-2}}).

Passo 3

Determine a dimensão da aceleração em termos de comprimento e tempo. A aceleração é velocidade por tempo e velocidade é comprimento por tempo, portanto:
a = \text{velocidade}/\text{tempo} \quad\Rightarrow\quad a \\ \text{tem dimensão}\\ \; L\,T^{-2}.ã
Em unidades do SI isso corresponde a \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 4

Isolando a massa na equação F = m\,a obtemos:
m = \frac{F}{a}.
Substituindo a dimensão da aceleração a = L\,T^{-2} vem:
m = \frac{F}{L\,T^{-2}} = F\,T^{2}\,L^{-1}.
Isto significa que, se força, comprimento e tempo são as bases, a massa tem dimensão F\,T^{2}\,L^{-1}.

Passo 5

Agora escrevendo isso em unidades do SI. Sabendo que 1\\ \mathrm{N} = 1\\ \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}, podemos rearranjar para expressar \mathrm{kg}:
\mathrm{kg} = \mathrm{N}\,\mathrm{s^{2}}\,\mathrm{m^{-1}}.
Ou, em notação compacta:
\mathrm{kg} = \mathrm{N\,s^{2}\,m^{-1}}.

Resposta

\mathrm{kg} = \mathrm{N\,s^{2}\,m^{-1}}

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