É razoável admitir o modelo de gás perfeito para as seguintes substâncias nos estados mencionados?
Água a 1.000^{\circ} \mathrm{C}, 3 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O que o problema pede: decidir se é razoável admitir o modelo de gás perfeito para a substância água nas condições dadas.
Informações fornecidas:
  • Temperatura: \,T=1000^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão: \,P=3\\ \mathrm{MPa}.
Valores que vou usar (constantes conhecidas para a água):
  • Massa molar da água: \,M=0{,}01801528\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Constante universal dos gases: \,R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Temperatura crítica da água: \,T_c=647{,}096\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica da água: \,P_c=22{,}06\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Breve aula: quando o modelo de gás perfeito é válido?
  • O modelo de gás perfeito (equação de estado ideal) é dado por \,PV=nRT ou, por molar, \,p\bar v = RT, onde:
    • \,p é a pressão,
    • \,\bar v é o volume molar,
    • \,R é a constante dos gases,
    • \,T é a temperatura absoluta.
  • Hipóteses do modelo: partículas puntiformes sem volume próprio e sem forças intermoleculares (ou seja, interações desprezíveis). Na prática, o modelo funciona bem quando a densidade é baixa (pressões não muito altas) e a temperatura é suficientemente alta, de modo que as interações entre moléculas ficam pequenas.
  • Medida prática de “quão ideal” é um gás: o fator de compressibilidade \,Z, definido por
Z=\frac{p\bar v}{RT}=\frac{pV}{nRT}.
Para gás perfeito vale \,Z=1. Se \,Z estiver próximo de 1 (por exemplo desvios de poucos por cento), o modelo ideal é razoável.
  • Uma maneira prática de avaliar é usar as variáveis reducidas
T_r=\frac{T}{T_c},\qquad P_r=\frac{P}{P_c},
e recorrer ao princípio dos estados correspondentes / cartas generalizadas de compressibilidade: para muitos fluidos, se \,T_r é suficientemente maior que 1 e \,P_r é pequeno ( <0{,}3 ou assim), então \,Z\approx1.

Passo 3

Converto os dados e calculo as reduzidas:
  • Converter temperatura:
T=1000^\circ\mathrm{C}=1000+273{,}15=1273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter pressão:
P=3\\ \mathrm{MPa}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular reduzidas:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{1273{,}15}{647{,}096}\approx1{,}97,
P_r=\frac{P}{P_c}=\frac{3{,}0}{22{,}06}\approx0{,}136.
Interpretação imediata: \,T_r\approx1{,}97 (quase o dobro de \,T_c) e \,P_r\approx0{,}136 (pressão bem abaixo da crítica).

Passo 4

O que as reduzidas nos dizem sobre \,Z e validade do gás ideal?
  • Em cartas generalizadas de compressibilidade (ou por experiência prática), para \,T_r\gtrsim2 e \,P_r\lesssim0{,}2 costuma-se ter \,Z muito próximo de 1 (desvios da ordem de poucos por cento).
  • Aqui \,T_r é um pouco menor que 2 mas bem acima de 1, e \,P_r é pequeno ( \approx0{,}136). Isso sugere que as forças intermoleculares não dominam e que \,Z estará perto de 1.
  • Observação sobre a água: é uma molécula polar com ligações de hidrogénio — isso aumenta as não-idealidades em condições próximas à condensação e perto do crítico. Mas quando a temperatura é bem maior que \,T_c e a pressão é baixa em relação a \,P_c, os efeitos de associação/ligação são muito reduzidos.

Passo 5

Verificação numérica rápida (estimativa de densidade pelo gás ideal para ver ordens de grandeza):
Usando a relação \,\rho=\dfrac{PM}{RT} (densidade em \mathrm{kg\,m^{-3}}):
  • Calcular RT:
RT=8{,}314462618\times1273{,}15\approx10585{,}56\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Calcular PM:
PM=(3{,}0\times10^{6})\times0{,}01801528\approx54045{,}84\\ \mathrm{Pa\cdot kg\,mol^{-1}}.
  • Densidade ideal:
\rho=\frac{PM}{RT}\approx\frac{54045{,}84}{10585{,}56}\approx5{,}11\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Comentário: densidade da vapor de água nas condições dadas, pelo ideal, é da ordem de \,5\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. Isso corresponde a um gás relativamente diluído (volume molar \bar v\approx3{,}53\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}, ou \approx3{,}53\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}). Em densidades desse tipo e com \,T_r e \,P_r que calculamos, os desvios de idealidade costumam ser pequenos.

Passo 6

Limitações práticas e recomendação:
  • Para estimativas rápidas ou problemas de prova (energia interna aproximada, densidade aproximada, cálculos de processos onde um erro relativo de poucos por cento é tolerável), admitir o gás perfeito aqui é razoável.
  • Se for necessária alta precisão (erros menores que, digamos, 1\%) ou propriedades sensíveis (calor específico muito dependente da interação, propriedades próximas ao ponto crítico, velocidade do som, etc.), então deve-se usar equações de estado reais ou tabelas de vapor/fluido (por exemplo IAPWS/steam tables) porque a água tem comportamento mais complexo que gases não polares.
  • Situações onde o modelo falharia claramente: pressões próximas ou superiores a \,P_c com \,T não muito maior que \,T_c, ou quando houver risco de condensação. Nenhuma dessas situações se aplica fortemente aqui (nesta condição \,T>T_c e \,P<P_c).

Passo 7

Resumo final do raciocínio (curto): T_r quase 2 e P_r pequeno \Rightarrow Z\approx1; cálculo numérico de densidade dá valor típico de gás diluído; apesar da polaridade da água, em \,T muito acima de \,T_c e \,P baixo a idealidade é aceitável com erro da ordem de poucos por cento.

Resposta

Sim — é razoável admitir o modelo de gás perfeito para água em \,T=1000^\circ\mathrm{C} e \,P=3\\ \mathrm{MPa} (desvios esperados da idealidade da ordem de poucos por cento; para precisão maior usar EOS real / tabelas).

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