Uma força constante age sobre uma partícula de massa 3,0 kg que inicialmente estava a 3,0 m / s. A ação da força se dá de tal forma que a posição da partícula em função do tempo é dada por x=3,0 t-4,0 t^2, com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado sobre a partícula pela força exercida sobre ela a partir de t=0 até t=4 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 3,0 , kg que está se movendo inicialmente a 3,0 , m/s. Uma força constante atua sobre ela, fazendo sua posição variar com o tempo de acordo com a equação x = 3,0 , t - 4,0 , t^2, onde x está em metros e t em segundos. Nosso objetivo é descobrir quanto trabalho essa força realizou sobre a partícula no intervalo de tempo de t = 0 até t = 4 , s. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento, velocidade, aceleração, força e trabalho na física.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então:
v(t) = dxdt = ddt(3,0 , t - 4,0 , t^2) = 3,0 - 8,0 , t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = ddt(3,0 - 8,0 , t) = -8,0 , m/s^2
Perceba que a aceleração é constante, ou seja, não depende do tempo.

Passo 4

Como a aceleração é constante, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar a força que está agindo sobre a partícula:
F = m cdot a = 3,0 , kg times (-8,0 , m/s^2) = -24,0 , N
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento inicial.

Passo 5

Para calcular o trabalho realizado pela força, podemos usar a fórmula:
W = F cdot De
Onde De é o deslocamento da partícula no intervalo de tempo considerado.

Passo 6

Vamos calcular o deslocamento De de t = 0 até t = 4 , s:
x(4) = 3,0 times 4 - 4,0 times (4)^2 = 12 - 64 = -52 , m
Já sabemos que em t = 0, x(0) = 0 , m. Então:
De

Passo 7

Agora, aplicando os valores na fórmula do trabalho:
W = F cdot De

Resposta

O trabalho realizado sobre a partícula pela força exercida de t = 0 até t = 4 , s é de 1248 , J.

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