Um determinado material foi usinado em um corte ortogonal com ferramenta de metal duro. A força de corte foi de 3200 N e a força de penetração de 1400 N , sabendo que o Kc =1700 \mathrm{N} / \mathrm{mm}^{2} e que a espessura final do cavaco é de 1,5 \mathrm{~mm}. Como parâmetros de corte: avanço de 0,75 \mathrm{~mm} / \mathrm{rev}, profundidade de corte de 2,0 \mathrm{~mm} e velocidade corte de 100 \mathrm{n} / \mathrm{min}. A geometria da ferramenta era: \alpha=8^{\circ}, \gamma=5^{\circ}, \chi=62^{\circ} \mathrm{e} \lambda=-6^{\circ}. Com base no dados, determine:
(a) O grau de recalque do cavaco
(b) Ângulo de cisalhamento
(c) Tensão de cisalhamento do material
(d) Potência de corte

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados numéricos fornecidos:
  • Força de corte: F_c=3200\\ \mathrm{N}.
  • Força de penetração (força de avanço / thrust): F_p=1400\\ \mathrm{N}.
  • Constante do material (dada): K_c=1700\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
  • Espessura final do cavaco (espessura do cavaco depois de formado): t_2=1{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Parâmetros de corte:
    • Avanço por volta: f=0{,}75\\ \mathrm{mm}/\mathrm{rev}.
    • Profundidade de corte (largura do corte, isto é, largura efetiva do cavaco): w=2{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Velocidade de corte: V=100\\ \mathrm{m}/\mathrm{min} (interpreto aqui o enunciado como velocidade linear de corte de 100\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}; se fosse 100\\ \mathrm{rev}/\mathrm{min} faltaria o diâmetro para converter).
  • Geometria da ferramenta:
    • Ângulo de cunha/rake: \alpha=8^\circ.
    • Ângulo de folga/clearance: \gamma=5^\circ (não usado na fórmula padrão).
    • Ângulo de aresta \chi=62^\circ e inclinação \lambda=-6^\circ (dados geométricos extra, mas para corte ortogonal as fórmulas clássicas usam \alpha e a largura w).
O enunciado pede:
(a) o grau de recalque do cavaco (razão entre espessuras);
(b) o ângulo de cisalhamento \varphi;
(c) a tensão de cisalhamento \tau no plano de cisalhamento;
(d) a potência de corte (potência absorvida pelo corte).
Observação: vou assumir que a espessura inicial não deformada do cavaco é igual ao avanço por revolução, ou seja, t_1=f. Esta é a hipótese padrão em usinagem ortogonal quando se dá avanço por rev.

Passo 2

(a) Definição e cálculo do grau de recalque do cavaco.
O que é o “grau de recalque” (ou razão de compressão do cavaco)? É a razão entre a espessura do cavaco antes do cisalhamento (espessura de entrada) e a espessura depois do cisalhamento (espessura do cavaco formado). Em fórmulas:
r=\frac{t_1}{t_2},
onde
  • t_1 é a espessura do material que entra no corte (aqui assumida como o avanço por volta f),
  • t_2 é a espessura do cavaco formado (dada).
Identificando os valores:
t_1=f=0{,}75\\ \mathrm{mm},\qquad t_2=1{,}5\\ \mathrm{mm}.
Cálculo:
r=\frac{t_1}{t_2}=\frac{0{,}75}{1{,}5}=0{,}5.
Interpretação rápida (útil na prova): r<1 significa que o cavaco ficou mais espesso do que a peça original (houve recalque/compactação).

Passo 3

(b) Cálculo do ângulo de cisalhamento \varphi usando a relação geométrica de Merchant.
Teoria e fórmula: na usinagem ortogonal existe uma relação entre a razão de recalque r, o rake angle \alpha e o ângulo de cisalhamento \varphi. A fórmula padrão (derivada geometricamente) é
\tan\varphi=\frac{r\cos\alpha}{\,1-r\sin\alpha\,}.
Aqui:
  • \alpha é o ângulo de cunha/rake (positivo quando a face de corte está inclinada para cima),
  • r é a razão t_1/t_2,
  • \varphi é o ângulo entre a superfície de corte (horizontal) e o plano de cisalhamento.
Aplicando os números:
r=0{,}5,\qquad \alpha=8^\circ.
Calculemos primeiro \cos\alpha e \sin\alpha (valores numéricos):
\cos8^\circ\approx0{,}990268,\qquad \sin8^\circ\approx0{,}139173.
Agora o numerador e denominador:
\text{num} = r\cos\alpha = 0{,}5\times0{,}990268 = 0{,}495134,
\text{den} = 1 - r\sin\alpha = 1 - 0{,}5\times0{,}139173 = 0{,}9304135.
Logo
\tan\varphi=\frac{0{,}495134}{0{,}9304135}=0{,}532275.
Tomando arctan:
\varphi=\arctan(0{,}532275)\approx28{,}0^\circ.
Comentário prático: memorize a fórmula acima; em prova com calculadora basta inserir r e \alpha e achar \varphi.

Passo 4

(c) Cálculo da tensão de cisalhamento \tau no plano de cisalhamento.
Conceito: a tensão de cisalhamento \tau é a força de cisalhamento por unidade de área do plano de cisalhamento. Precisamos:
  • identificar a força de cisalhamento que age no plano,
  • calcular a área desse plano de cisalhamento.
Área do plano de cisalhamento:
  • O comprimento do plano de cisalhamento l_s (por unidade axial) pode ser obtido geometricamente: l_s=\dfrac{t_1}{\sin\varphi}.
  • A área do plano de cisalhamento é então A_s = w\cdot l_s = w\cdot\dfrac{t_1}{\sin\varphi},
    onde w é a largura do corte (a profundidade de corte dada).
Força de cisalhamento no plano:
  • A resultante que atua tangencialmente ao plano de cisalhamento (força de cisalhamento F_s) pode ser obtida resolvendo as componentes das forças conhecidas F_c e F_p ao longo da direção do plano. A expressão que resulta da análise estática é
F_s = F_c\cos\varphi - F_p\sin\varphi.
(Isto vem de projetar as forças horizontais e verticais na direção do plano de cisalhamento; a fórmula é padrão na análise de Merchant.)
Portanto a tensão de cisalhamento é
\tau=\frac{F_s}{A_s}=\frac{F_c\cos\varphi - F_p\sin\varphi}{\,w\,\dfrac{t_1}{\sin\varphi}\,} =\frac{(F_c\cos\varphi - F_p\sin\varphi)\,\sin\varphi}{w\,t_1}.
Agora computamos numericamente. Valores já conhecidos:
F_c=3200\\ \mathrm{N},\quad F_p=1400\\ \mathrm{N},\quad w=2{,}0\\ \mathrm{mm},\quad t_1=0{,}75\\ \mathrm{mm},
\varphi\approx28{,}0^\circ\quad\Rightarrow\quad \cos\varphi\approx0{,}882948,\\ \sin\varphi\approx0{,}469472.
Calculemos F_s:
F_s = 3200\times0{,}882948 - 1400\times0{,}469472 =2825{,}43 - 657{,}26 = 2168{,}17\\ \mathrm{N}.
Área do plano de cisalhamento:
A_s = w\frac{t_1}{\sin\varphi} = 2{,}0\cdot\frac{0{,}75}{0{,}469472} = \frac{1{,}5}{0{,}469472}=3{,}1950\\ \mathrm{mm}^2.
Finalmente a tensão de cisalhamento:
\tau=\frac{F_s}{A_s}=\frac{2168{,}17}{3{,}1950}\approx678{,}9\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
Interpretação: \tau\approx679\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. É a ordem de grandeza típica de tensões de corte em usinagem para muitos metais (menor que o K_c fornecido, pois K_c é uma constante específica de corte que incorpora também fatores geométricos e de fricção).

Passo 5

(d) Cálculo da potência de corte.
Definição e fórmula: potência de corte P é a taxa de trabalho realizado pela força de corte ao deslocar-se com velocidade de corte V. Em unidades práticas:
P = F_c \cdot V,
desde que V esteja em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Como V foi dado em \mathrm{m}/\mathrm{min}, convém converter:
V\\ (\mathrm{m}/\mathrm{s})=\frac{V\\ (\mathrm{m}/\mathrm{min})}{60}.
Usando V=100\\ \mathrm{m}/\mathrm{min} e F_c=3200\\ \mathrm{N}:
P = 3200\\ \mathrm{N}\times\frac{100\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}}{60} =3200\times\frac{100}{60}\\ \mathrm{W} =3200\times1{,}666\ldots\\ \mathrm{W}=5333{,}33\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
P\approx5{,}33\\ \mathrm{kW}.
Comentário final de verificação: se a interpretação da velocidade fosse diferente (por exemplo 100\\ \mathrm{rev}/\mathrm{min}), seria necessário o diâmetro da peça para obter V; portanto a suposição de 100\\ \mathrm{m}/\mathrm{min} foi feita por consistência e porque é o modo usual de informar velocidade de corte.

Resposta

(a) r=\dfrac{t_1}{t_2}=0{,}5
(b) \varphi\approx28{,}0^\circ
(c) \tau\approx678{,}9\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2
(d) P\approx5{,}33\\ \mathrm{kW}

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