Uma força dada por F(x)=5 x^3 i atua sobre uma massa de 1 kg que se move sobre uma superfície sem atrito. A massa se move de x=2 m para x=6 m. (a) Qual trabalho é realizado pela força? (b) Se a massa tem velocidade de 2 m / s em x=2 m, qual é sua velocidade em x=6 m ?

Passo 1

O enunciado descreve uma massa de 1 kg que se desloca sem atrito ao longo do eixo x sob a ação da força
F(x)=5,x^3,i
e pede:
(a) o trabalho realizado por essa força ao mover a massa de x=2 m até x=6 m;
(b) a velocidade da massa em x=6 m, sabendo que em x=2 m ela tem velocidade de 2 m/s.
Para resolver, usaremos integração para o trabalho e o teorema trabalho-energia cinética.

Passo 2

O trabalho realizado por uma força unidimensional é
W=integralxi^xfF(x),dx
Aqui xi=2 m e xf=6 m. Logo
W=integral2^65,x^3,dx =5integral2^6x^3,dx =5[x^44]2^6 =54l(6^4-2^4r)
Calculando 6^4=1296 e 2^4=16, temos
W=54(1296-16)=54cdot1280=5cdot320=1600 J

Passo 3

Pelo teorema trabalho-energia cinética, o trabalho total muda a energia cinética segundo
W=De<a K =12ml(vf^2-vi^2r)
Aqui m=1 kg, vi=2 m/s e W=1600 J. Então
1600=12cdot1,(vf^2-2^2) ;Longrightarrow; 1600=12(vf^2-4) ;Longrightarrow; vf^2-4=3200 ;Longrightarrow; vf^2=3204
Portanto
vf=raiz3204approx56,6 m/s

Resposta

(a) 1600 J
(b) v(6 m)approx56,6 m/s

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