(2,5) Uma força dada por \vec{F}=(40 \hat{i}-20 \hat{j}+30 \hat{k}) \mathrm{N} é aplicada em um ponto P. Sabe-se que o ponto P está localizado a partir da origem O por um deslocamento composto por 20 cm na direção x, 50 \mathrm{~cm} na direção y e 10 cm na direção z.
(a) Determine o vetor posição \vec{r} do ponto P em relação à origem O, em unidades do SI.
(b) Calcule o momento da força em relação ao ponto O.
(c) Considere um eixo que passa pela origem e tem direção \vec{u}=(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}). Determine o momento da força em relação a esse eixo.

Passo 1

O enunciado dá uma força aplicada num ponto P e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
  • A força é \vec{F}=(40\hat{i}-20\hat{j}+30\hat{k})\\ \mathrm{N}.
  • O deslocamento do ponto P a partir da origem O é: 20\\ \mathrm{cm} na direção x, 50\\ \mathrm{cm} na direção y e 10\\ \mathrm{cm} na direção z.
Perguntas:
(a) Determine o vetor posição \vec{r} de P em relação a O em unidades do SI (ou seja, metros).
(b) Calcule o momento (torque) da força em relação ao ponto O — isto é, o vetor \vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}.
(c) Para um eixo que passa por O com direção \vec{u}=(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}), determine o momento da força em relação a esse eixo (componente do momento ao longo do eixo).

Passo 2

Converter as coordenadas de centímetros para metros e escrever o vetor posição \vec{r}.
  • Conversões: 20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}, 50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}, 10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Portanto o vetor posição é
\vec{r}=0{,}20\hat{i}+0{,}50\hat{j}+0{,}10\hat{k}\\ \mathrm{m}.
Breve explicação didática: vetor posição \vec{r} indica onde o ponto de aplicação da força se encontra a partir da origem, expresso em componentes ao longo dos eixos unitários \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 3

Definir o momento (torque) em relação a O e explicar a operação necessária.
  • Definição: o momento da força em relação à origem é o produto vetorial
\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}.
  • O produto vetorial entre dois vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) é o vetor
\vec{a}\times\vec{b}=(a_y b_z-a_z b_y)\,\hat{i}+(a_z b_x-a_x b_z)\,\hat{j}+(a_x b_y-a_y b_x)\,\hat{k}.
Explicando: cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos cruzados das componentes dos vetores — esse produto dá um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{a} e \vec{b}, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto vetorial para calcular \vec{M}_O. Usar as componentes de \vec{r} e \vec{F}.
  • Escrevendo componentes:
    \vec{r}=(0{,}20,\;0{,}50,\;0{,}10)\\ \mathrm{m} e \vec{F}=(40,\;-20,\;30)\\ \mathrm{N}.
Calcular componente a componente:
M_x = r_y F_z - r_z F_y = 0{,}50\cdot 30 - 0{,}10\cdot(-20)=15 + 2 = 17
M_y = r_z F_x - r_x F_z = 0{,}10\cdot 40 - 0{,}20\cdot 30=4 - 6 = -2
M_z = r_x F_y - r_y F_x = 0{,}20\cdot(-20) - 0{,}50\cdot 40 = -4 - 20 = -24
Portanto o momento (vetor) em relação a O é
\vec{M}_O = 17\hat{i} - 2\hat{j} - 24\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário didático: os números surgiram de multiplicações simples e subtrações; isso é exatamente o que se faz em prova — montar as componentes e aplicar as fórmulas acima. A unidade correta é \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Encontrar o momento da força em relação ao eixo definido por \vec{u}=(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}). Explicar o raciocínio.
  • Ideia: o momento em relação a um eixo que passa por O é a componente do vetor momento \vec{M}_O ao longo da direção do eixo. Isso é obtido projetando \vec{M}_O sobre o versor (vetor unitário) \hat{u} da direção do eixo:
M_{\text{eixo}}=\vec{M}_O\cdot\hat{u}.
  • Primeiro calcular o versor \hat{u}. Dado \vec{u}=(1,2,2), seu comprimento é
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Logo
\hat{u}=\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}.
  • Agora calcular o produto escalar (dot product) \vec{M}_O\cdot\hat{u}. Lembrando: se \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z), então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z.
Aplicando:
M_{\text{eixo}} = 17\cdot\frac{1}{3} + (-2)\cdot\frac{2}{3} + (-24)\cdot\frac{2}{3}.
Calcular passo a passo:
17\cdot\frac{1}{3}=\frac{17}{3},\qquad (-2)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{4}{3},\qquad (-24)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{48}{3}.
Somando:
M_{\text{eixo}}=\frac{17-4-48}{3}=\frac{-35}{3}=-11{,}666\ldots\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: o valor negativo indica que a componente do momento está no sentido oposto ao do versor \hat{u}. Se a prova pedir apenas a magnitude, a magnitude é \dfrac{35}{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

\vec{r}=0{,}20\hat{i}+0{,}50\hat{j}+0{,}10\hat{k}\\ \mathrm{m}\n
\vec{M}_O=17\hat{i}-2\hat{j}-24\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}\n
M_{\text{eixo}}=-\dfrac{35}{3}\\ \mathrm{N\cdot m}

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