Uma força dada por
é aplicada em um ponto
. Sabe-se que o ponto
está localizado a partir da origem
por um deslocamento composto por 20 cm na direção
na direção
e 10 cm na direção
.
(a) Determine o vetor posição
do ponto
em relação à origem
, em unidades do SI.
(b) Calcule o momento da força em relação ao ponto
.
(c) Considere um eixo que passa pela origem e tem direção
. Determine o momento da força em relação a esse eixo.
(a) Determine o vetor posição
(b) Calcule o momento da força em relação ao ponto
(c) Considere um eixo que passa pela origem e tem direção
Passo 1
O enunciado dá uma força aplicada num ponto
e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
- A força é
. - O deslocamento do ponto
a partir da origem é: na direção , na direção e na direção .
Perguntas:
(a) Determine o vetor posição de
em relação a
em unidades do SI (ou seja, metros).
(b) Calcule o momento (torque) da força em relação ao ponto — isto é, o vetor
.
(c) Para um eixo que passa por com direção
, determine o momento da força em relação a esse eixo (componente do momento ao longo do eixo).
(a) Determine o vetor posição
(b) Calcule o momento (torque) da força em relação ao ponto
(c) Para um eixo que passa por
Passo 2
Converter as coordenadas de centímetros para metros e escrever o vetor posição
.
- Conversões:
, , .
Portanto o vetor posição é
Breve explicação didática: vetor posição
indica onde o ponto de aplicação da força se encontra a partir da origem, expresso em componentes ao longo dos eixos unitários
.
Passo 3
Definir o momento (torque) em relação a
e explicar a operação necessária.
- Definição: o momento da força em relação à origem é o produto vetorial
- O produto vetorial entre dois vetores
e é o vetor
Explicando: cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos cruzados das componentes dos vetores — esse produto dá um vetor perpendicular ao plano formado por
e
, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude igual à área do paralelogramo formado por
e
.
Passo 4
Aplicar a fórmula do produto vetorial para calcular
. Usar as componentes de
e
.
- Escrevendo componentes:
e .
Calcular componente a componente:
Portanto o momento (vetor) em relação a
é
Comentário didático: os números surgiram de multiplicações simples e subtrações; isso é exatamente o que se faz em prova — montar as componentes e aplicar as fórmulas acima. A unidade correta é
.
Passo 5
Encontrar o momento da força em relação ao eixo definido por
. Explicar o raciocínio.
- Ideia: o momento em relação a um eixo que passa por
é a componente do vetor momento ao longo da direção do eixo. Isso é obtido projetando sobre o versor (vetor unitário) da direção do eixo:
- Primeiro calcular o versor
. Dado , seu comprimento é
Logo
- Agora calcular o produto escalar (dot product)
. Lembrando: se e , então .
Aplicando:
Calcular passo a passo:
Somando:
Interpretação: o valor negativo indica que a componente do momento está no sentido oposto ao do versor
. Se a prova pedir apenas a magnitude, a magnitude é
.