( 1,5 ponto) A equação representando uma onda progressiva em uma corda esticada é dada por:
.
A corda tem um comprimento de
e sua massa é
. Determine: (a) a amplitude, (b) a frequência, (c) o comprimento de onda, (d) a velocidade e (e) o sentido de propagação da onda; (f) a tensão na corda.
A corda tem um comprimento de
Passo 1
O enunciado nos dá a função de onda
Dados fornecidos (peguei estes valores diretamente do enunciado):
- Amplitude indicada:
. - Número de onda:
. - frequência angular:
. - comprimento da corda:
. - massa da corda:
.
O enunciado pede:
(a) a amplitude; (b) a frequência; (c) o comprimento de onda; (d) a velocidade de propagação; (e) o sentido de propagação; (f) a tensão na corda.
(a) a amplitude; (b) a frequência; (c) o comprimento de onda; (d) a velocidade de propagação; (e) o sentido de propagação; (f) a tensão na corda.
Passo 2
Amplitude — o que é e como obter:
A amplitude é o valor máximo do deslocamento transverse da corda (o coeficiente que multiplica o cosseno). No enunciado ela está dada em milímetros. Converto para metros porque as fórmulas de física usam SI.
A amplitude
Comentário didático: usar metros evita erros nas fórmulas envolvendo velocidade e massa linear.
Passo 3
Frequência — relação entre
e
:
A frequência (em hertz) está relacionada à frequência angular
por
A frequência
Isolando
,
Substituo
:
Explicação prática:
é o número de oscilações por segundo;
é a mesma informação em radianos por segundo.
Passo 4
Comprimento de onda — relação entre
e
:
O número de onda e o comprimento de onda
estão ligados por
O número de onda
Isolando
,
Substituo
:
Comentário simples:
é a distância entre duas cristas consecutivas.
Passo 5
Velocidade de propagação — duas fórmulas equivalentes:
A velocidade de fase da onda pode ser obtida por
A velocidade de fase da onda pode ser obtida por
ou equivalentemente por
Calculo direto usando
e
:
Verificação com
:
Explicação: a velocidade indica quão rápido a forma da onda se desloca ao longo da corda.
Passo 6
Sentido de propagação — como interpretar o sinal dentro do cosseno:
A forma geral representa uma onda que se desloca no sentido positivo de
. Já
representa uma onda que se desloca no sentido negativo de
. Raciocínio: manter a fase constante
e isolar
mostra o sinal do deslocamento temporal.
A forma geral
No nosso caso o argumento é
, ou seja,
. Portanto a onda propaga-se no sentido negativo do eixo
(para
decrescente).
Passo 7
Tensão na corda — relação com velocidade da onda e densidade linear:
Para uma corda ideal a velocidade da onda é dada por
Para uma corda ideal a velocidade da onda é dada por
onde
é a tensão na corda e
é a massa por unidade de comprimento (densidade linear). Isolando
,
Calculo de
: a massa
deve estar em kg e o comprimento em m.
Logo
Agora uso
:
Arredondando com consistência de algarismos significativos (dados com 3 algarismos significativos), tomo
Comentário de verificação de unidade:
em
vezes
em
dá
, conforme esperado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo
(f)
(b)
(c)
(d)
(e) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo
(f)