( 1,5 ponto) A equação representando uma onda progressiva em uma corda esticada é dada por: \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=(10,0 \mathrm{~mm}) \cos [(15,0 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) \mathrm{x}+(1500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}].
A corda tem um comprimento de 1,20 \mathrm{~m} e sua massa é 2,00 \mathrm{~g}. Determine: (a) a amplitude, (b) a frequência, (c) o comprimento de onda, (d) a velocidade e (e) o sentido de propagação da onda; (f) a tensão na corda.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda
y(x,t)=(10,0\\ \text{mm})\cos\bigl[(15,0\\ \text{rad/m})\,x+(1500\\ \text{rad/s})\,t\bigr].
Dados fornecidos (peguei estes valores diretamente do enunciado):
  • Amplitude indicada: 10,0\\ \text{mm}.
  • Número de onda: k=15,0\\ \text{rad/m}.
  • frequência angular: \omega=1500\\ \text{rad/s}.
  • comprimento da corda: L=1,20\\ \text{m}.
  • massa da corda: m=2,00\\ \text{g}.
O enunciado pede:
(a) a amplitude; (b) a frequência; (c) o comprimento de onda; (d) a velocidade de propagação; (e) o sentido de propagação; (f) a tensão na corda.

Passo 2

Amplitude — o que é e como obter:
A amplitude A é o valor máximo do deslocamento transverse da corda (o coeficiente que multiplica o cosseno). No enunciado ela está dada em milímetros. Converto para metros porque as fórmulas de física usam SI.
A=10,0\\ \text{mm}=10,0\times10^{-3}\\ \text{m}=0,010\\ \text{m}.
Comentário didático: usar metros evita erros nas fórmulas envolvendo velocidade e massa linear.

Passo 3

Frequência — relação entre \omega e f:
A frequência f (em hertz) está relacionada à frequência angular \omega por
\omega=2\pi f.
Isolando f,
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituo \omega=1500\\ \text{rad/s}:
f=\frac{1500}{2\pi}\\ \text{Hz}\approx\frac{1500}{6,28318}\\ \text{Hz}\approx238,7\\ \text{Hz}.
Explicação prática: f é o número de oscilações por segundo; \omega é a mesma informação em radianos por segundo.

Passo 4

Comprimento de onda — relação entre k e \lambda:
O número de onda k e o comprimento de onda \lambda estão ligados por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isolando \lambda,
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituo k=15,0\\ \text{rad/m}:
\lambda=\frac{2\pi}{15,0}\\ \text{m}\approx\frac{6,28318}{15,0}\\ \text{m}\approx0,4189\\ \text{m}\approx0,419\\ \text{m}.
Comentário simples: \lambda é a distância entre duas cristas consecutivas.

Passo 5

Velocidade de propagação — duas fórmulas equivalentes:
A velocidade de fase da onda pode ser obtida por
v=\frac{\omega}{k},
ou equivalentemente por
v=f\lambda.
Calculo direto usando \omega e k:
v=\frac{1500}{15,0}\\ \text{m/s}=100\\ \text{m/s}.
Verificação com f\lambda:
f\lambda\approx238,7\times0,4189\\ \text{m/s}\approx100\\ \text{m/s}.
Explicação: a velocidade indica quão rápido a forma da onda se desloca ao longo da corda.

Passo 6

Sentido de propagação — como interpretar o sinal dentro do cosseno:
A forma geral \cos(kx-\omega t) representa uma onda que se desloca no sentido positivo de x. Já \cos(kx+\omega t) representa uma onda que se desloca no sentido negativo de x. Raciocínio: manter a fase constante kx\pm\omega t=\text{const} e isolar x mostra o sinal do deslocamento temporal.
No nosso caso o argumento é (15,0\,x)+(1500\,t), ou seja, kx+\omega t. Portanto a onda propaga-se no sentido negativo do eixo x (para x decrescente).

Passo 7

Tensão na corda — relação com velocidade da onda e densidade linear:
Para uma corda ideal a velocidade da onda é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão na corda e \mu é a massa por unidade de comprimento (densidade linear). Isolando T,
T=\mu v^{2}.
Calculo de \mu: a massa m deve estar em kg e o comprimento em m.
m=2,00\\ \text{g}=2,00\times10^{-3}\\ \text{kg}=0,00200\\ \text{kg}, \qquad L=1,20\\ \text{m}.
Logo
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,00200}{1,20}\\ \text{kg/m}=0,001666\ldots\\ \text{kg/m}\approx1,667\times10^{-3}\\ \text{kg/m}.
Agora uso v=100\\ \text{m/s}:
T=\mu v^{2}=\left(0,001666\ldots\right)\times(100)^{2}\\ \text{N}=0,001666\ldots\times10000\\ \text{N}=16,666\ldots\\ \text{N}.
Arredondando com consistência de algarismos significativos (dados com 3 algarismos significativos), tomo
T\approx16,7\\ \text{N}.
Comentário de verificação de unidade: \mu em \text{kg/m} vezes v^{2} em \text{m}^{2}/\text{s}^{2} \text{kg m/s}^{2}=\text{N}, conforme esperado.

Resposta

(a) A=0,010\\ \text{m}
(b) f\approx238,7\\ \text{Hz}
(c) \lambda\approx0,419\\ \text{m}
(d) v=100\\ \text{m/s}
(e) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo x
(f) T\approx16,7\\ \text{N}

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