(1,5 ponto) A água se move a uma velocidade de 5,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um cano com uma seção reta de 8,0 \mathrm{~cm}^{2}. A água desce gradualmente 20,0 \mathrm{~m} enquanto a seção reta aumenta para 12,0 \mathrm{~cm}^{2}.
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes de decida é 1,65 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, qual é a pressão depois de descida?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
  • velocidade inicial: v_1 = 5{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • área da seção inicial: A_1 = 8{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
  • área da seção final: A_2 = 12{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
  • variação vertical (descida): a água desce 20{,}0\\ \mathrm{m}. Ou seja, a diferença de altura é \Delta h = 20{,}0\\ \mathrm{m} (com y_2 = y_1 - 20{,}0\\ \mathrm{m}).
  • pressão antes da descida: P_1 = 1{,}65\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O enunciado pede:
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida? (ou seja, v_2.)
(b) Qual é a pressão depois da descida? (ou seja, P_2.)

Passo 2

Escolha do método e primeiros passos — conservação de massa (equação da continuidade).
Explicação didática e fórmula:
Quando um fluido incompressível (como água) flui de uma seção para outra, a quantidade de volume que passa por segundo é a mesma em qualquer seção (se o fluxo for estacionário). Isso dá a equação da continuidade:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde
  • A_1 e A_2 são as áreas das seções transversais (em \mathrm{m}^2);
  • v_1 e v_2 são as velocidades médias nas respectivas seções (em \mathrm{m/s}).
Primeiro convertemos as áreas de \mathrm{cm}^2 para \mathrm{m}^2. Lembrando que 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2:
A_1 = 8{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 8{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 8{,}0\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
A_2 = 12{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 12{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}20\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
Agora isolamos v_2 pela continuidade:
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1.
Substituindo os valores:
v_2 = \frac{8{,}0\cdot10^{-4}}{1{,}20\cdot10^{-3}}\times 5{,}00.
Calcule a razão:
\frac{8{,}0\cdot10^{-4}}{1{,}20\cdot10^{-3}} = \frac{0{,}0008}{0{,}00120} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
Logo
v_2 = \frac{2}{3}\times 5{,}00 = \frac{10}{3} = 3{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: como a área aumentou, a velocidade diminui. Aqui obtemos v_2 \approx 3{,}33\\ \mathrm{m/s} (vou discutir arredondamento ao final).

Passo 3

Encontrar a pressão depois da descida — aplicação da equação de Bernoulli.
Explicação didática e fórmula:
A equação de Bernoulli para um fluido incompressível e sem perdas (escolhendo dois pontos ao longo da mesma linha de corrente) é:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g y_1 \;=\; P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g y_2,
onde
  • P é a pressão ( \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • y é a altura vertical ( \mathrm{m}).
Significado físico: a soma da pressão estática, da energia cinética por unidade de volume e da energia potencial gravitacional por unidade de volume é conservada ao longo de um escoamento ideal.
Assumimos aqui fluxo estacionário, água incompressível e desprezamos perdas por atrito (essas são suposições padrão para usar Bernoulli numa questão assim).
Queremos P_2. Reescrevendo a equação isolando P_2:
P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(y_1 - y_2\right).
Note que y_1 - y_2 = \Delta h = 20{,}0\\ \mathrm{m} (a água desceu).
Valores numéricos que usaremos (valores padrão para água):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
Substituímos os números. Já temos v_1 = 5{,}00\\ \mathrm{m/s} e v_2 = 3{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}. Calculemos os termos separados para facilitar:
Termo dinâmico:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot\big(5{,}00^2 - (3{,}333\ldots)^2\big).
Calcule v_1^2 e v_2^2:
v_1^2 = 5{,}00^2 = 25{,}00, \qquad v_2^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{100}{9} = 11{,}111\ldots
v_1^2 - v_2^2 = 25{,}00 - 11{,}111\ldots = 13{,}888\ldots
Logo
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) = 500 \times 13{,}888\ldots = 6{,}944{,}44\ldots\\ \mathrm{Pa}.
Termo gravitacional (hidrostático):
\rho g \Delta h = 1000 \times 9{,}80 \times 20{,}0 = 196{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Agora somamos tudo para obter P_2:
P_2 = 1{,}65\times 10^{5} + 6{,}944{,}44\ldots + 196{,}000.
Convertemos 1{,}65\times10^{5} para valor absoluto para somar:
P_1 = 165{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Somando:
P_2 = 165{,}000 + 6{,}944{,}44\ldots + 196{,}000 = 367{,}944{,}44\ldots\\ \mathrm{Pa}.
Assim, obtém-se P_2 \approx 3{,}67944\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}, que por arredondamento conveniente fica P_2 \approx 3{,}68\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Arredondamento, unidades e interpretação final (motivação e checagem rápida).
  • Velocidade final: do cálculo v_2 = 3{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}. Apresento aqui com três algarismos significativos por compatibilidade com os dados fornecidos: v_2 = 3{,}33\\ \mathrm{m/s}. (Se preferir dois algarismos significativos, daria 3{,}3\\ \mathrm{m/s}.)
  • Pressão final: do cálculo P_2 \approx 367{,}944{,}44\ldots\\ \mathrm{Pa}. Arredondando para três algarismos significativos (compatível com P_1), fica P_2 = 3{,}68\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação física rápida: a pressão aumentou bastante porque a água desceu 20\\ \mathrm{m} — a energia potencial gravitacional perdida foi convertida principalmente em pressão (mais um pouco em energia cinética reduzida), por isso P_2 é maior que P_1.
Força final de incentivo: boa! você está indo bem — questões de continuidade + Bernoulli são muito comuns em provas; praticando esse passo a passo você vai conseguir resolver rápido na hora.

Resposta

(a) \,v_2 = 3{,}33\\ \mathrm{m/s}
(b) \,P_2 = 3{,}68\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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