(1,5 ponto) A água se move a uma velocidade de
em um cano com uma seção reta de
. A água desce gradualmente
enquanto a seção reta aumenta para
.
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes de decida é
, qual é a pressão depois de descida?
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes de decida é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do enunciado:
- velocidade inicial:
. - área da seção inicial:
. - área da seção final:
. - variação vertical (descida): a água desce
. Ou seja, a diferença de altura é (com ). - pressão antes da descida:
.
O enunciado pede:
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida? (ou seja, .)
(b) Qual é a pressão depois da descida? (ou seja, .)
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida? (ou seja,
(b) Qual é a pressão depois da descida? (ou seja,
Passo 2
Escolha do método e primeiros passos — conservação de massa (equação da continuidade).
Explicação didática e fórmula:
Explicação didática e fórmula:
Quando um fluido incompressível (como água) flui de uma seção para outra, a quantidade de volume que passa por segundo é a mesma em qualquer seção (se o fluxo for estacionário). Isso dá a equação da continuidade:
onde
-
e são as áreas das seções transversais (em ); -
e são as velocidades médias nas respectivas seções (em ).
Primeiro convertemos as áreas de
para
. Lembrando que
:
Agora isolamos
pela continuidade:
Substituindo os valores:
Calcule a razão:
Logo
Interpretação: como a área aumentou, a velocidade diminui. Aqui obtemos
(vou discutir arredondamento ao final).
Passo 3
Encontrar a pressão depois da descida — aplicação da equação de Bernoulli.
Explicação didática e fórmula:
Explicação didática e fórmula:
A equação de Bernoulli para um fluido incompressível e sem perdas (escolhendo dois pontos ao longo da mesma linha de corrente) é:
onde
-
é a pressão ( ), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a velocidade ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura vertical ( ).
Significado físico: a soma da pressão estática, da energia cinética por unidade de volume e da energia potencial gravitacional por unidade de volume é conservada ao longo de um escoamento ideal.
Assumimos aqui fluxo estacionário, água incompressível e desprezamos perdas por atrito (essas são suposições padrão para usar Bernoulli numa questão assim).
Queremos
. Reescrevendo a equação isolando
:
Note que
(a água desceu).
Valores numéricos que usaremos (valores padrão para água):
Substituímos os números. Já temos
e
. Calculemos os termos separados para facilitar:
Termo dinâmico:
Calcule
e
:
Logo
Termo gravitacional (hidrostático):
Agora somamos tudo para obter
:
Convertemos
para valor absoluto para somar:
Somando:
Assim, obtém-se
, que por arredondamento conveniente fica
.
Passo 4
Arredondamento, unidades e interpretação final (motivação e checagem rápida).
- Velocidade final: do cálculo
. Apresento aqui com três algarismos significativos por compatibilidade com os dados fornecidos: . (Se preferir dois algarismos significativos, daria .) - Pressão final: do cálculo
. Arredondando para três algarismos significativos (compatível com ), fica .
Interpretação física rápida: a pressão aumentou bastante porque a água desceu
— a energia potencial gravitacional perdida foi convertida principalmente em pressão (mais um pouco em energia cinética reduzida), por isso
é maior que
.
Força final de incentivo: boa! você está indo bem — questões de continuidade + Bernoulli são muito comuns em provas; praticando esse passo a passo você vai conseguir resolver rápido na hora.
Resposta
(a)
(b)
(b)