Uma força é descrita por:
(a) Expresse
em coordenadas cilíndricas. (b) Calcule
.
(c) Calcule o trabalho realizado por
ao longo de um círculo unitário no sentido anti-horário. (d) Como se reconciliam os resultados de (b) e (c).
(c) Calcule o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado dá a força
e pede quatro coisas:
- (a) Expressar
em coordenadas cilíndricas (aqui, no plano, são as coordenadas polares ). - (b) Calcular
. - (c) Calcular o trabalho realizado por
ao longo de um círculo unitário no sentido anti-horário. - (d) Reconciliar os resultados de (b) e (c).
Informações relevantes dadas:
- O campo é dado em componentes cartesianas com
(vou também chamar de quando for mais claro, lembrando que e ). - O denominador é
, que é zero no ponto ; portanto o campo não está definido no origem. - O percurso pedido em (c) é o círculo de raio
, percorrido no sentido anti-horário (isto é, vai de a ).
Passo 2
Primeiro vamos trocar para coordenadas polares e lembrar as definições das direções unitárias polares.
Definições básicas (aula rápida, sem pular):
Definições básicas (aula rápida, sem pular):
As direções unitárias em polares são
Qualquer vetor no plano pode ser escrito como combinação dessas direções. Para passar de componentes cartesianas
para componentes polares
usamos os produtos escalares:
Passo 3
Escrevo as componentes cartesianas de
em termos de
. Substituo
e
:
Logo
Passo 4
Agora calculo as componentes polares usando os produtos escalares com
e
.
Cálculo de
:
Faço o produto componente a componente:
Cálculo de
:
Avalio:
Portanto, em coordenadas polares (cilíndricas no plano) obtemos
Passo 5
Agora vou calcular
. Vou usar a expressão do rotacional em coordenadas cartesianas no plano (o componente
do rotacional):
Aqui
e
, com
. Vou calcular as derivadas parciais usando a regra do quociente.
Calculo
. Com
e
temos
Calculo
. Com
e usando a regra do quociente:
Agora subtraio:
Portanto o rotacional é zero em todo ponto onde o campo está definido (isto é, para
):
Passo 6
Comentário didático sobre o resultado de (b): o cálculo acima mostra que o rotacional é nulo em todos os pontos do plano exceto, possivelmente, na origem, onde o campo nem sequer está definido (o denominador
zera). Logo não podemos afirmar que o rotacional é globalmente zero no disco que contém a origem; apenas que é zero em
.
Passo 7
Agora calculo o trabalho ao longo do círculo unitário no sentido anti-horário. Vou usar duas maneiras (são equivalentes) para ficar bem claro.
Método 1 — usando a expressão polar já obtida. Para uma curva em coordenadas polares com
constante e
variando de
a
, o deslocamento infinitesimal é
Aqui
e
, então
Como
e em
temos
, o produto escalar é
Integrando de
a
:
Método 2 — verificação em cartesianas (checa se você ficar desconfiado): sobre a circunferência unitária
temos
porque o denominador vale
. Parametrizando
, temos
e
Integro de
a
e também obtenho
.
Passo 8
Interpretação e reconciliação entre (b) e (c). Aqui é importante entender a hipótese do teorema de Green (ou de Stokes no plano): se um campo tem rotacional nulo em uma região simplesmente conexa e é definido e contínuo em toda essa região, então a circulação ao longo de qualquer curva fechada que esteja dentro dessa região é zero. No nosso caso:
- Calculamos
em todo . - Entretanto o círculo unitário envolve a origem
, e o campo não está definido na origem (há uma singularidade). Portanto a região interior ao círculo NÃO é uma região onde o campo é definido e contínuo em todo o disco fechado. A hipóteses do teorema de Green falham. Assim não é contraditório obter rotacional nulo fora da origem e ainda assim ter circulação não nula em torno da origem.
Outra explicação (intuitiva):
é o gradiente do ângulo polar
(isto é,
localmente), e
é multivalorada ao contornar a origem — ao fazer um círculo completo
aumenta em
, daí a integral do gradiente ao longo do laço fechado dá
. Em termos mais avançados, o rotacional de
é zero como função ordinária em
, mas como distribuição possui uma contribuição concentrada na origem proporcional a uma delta de Dirac, e essa contribuição é responsável pela circulação
.
Resposta
(a)
\n
(b) para
(campo não definido em
).\n
(c) \n
(d) Aparenta contradição é resolvida porque o teorema de Green exige que o campo seja definido e contínuo em toda a região interior ao laço; aqui há uma singularidade na origem, então o rotacional nulo em não impede uma circulação não nula em volta da origem.
(b)
(c)
(d) Aparenta contradição é resolvida porque o teorema de Green exige que o campo seja definido e contínuo em toda a região interior ao laço; aqui há uma singularidade na origem, então o rotacional nulo em