Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-\pi / 6}^{\pi / 3} \operatorname{sen} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \operatorname{sen} \theta \, d\theta.
Informações relevantes dadas:
\text{limites: } a = -\pi/6,\quad b = \pi/3;
\text{integrando: } f(\theta)=\operatorname{sen}\theta.
Observação: \operatorname{sen}\theta é contínua em todo \mathbb{R}, portanto é contínua no intervalo fechado [-\pi/6,\pi/3], condição que permite aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui):
se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b] — isto é, F'(\theta)=f(\theta) — então
\int_{a}^{b} f(\theta)\,d\theta = F(b)-F(a).
Em palavras: para calcular a integral definida basta encontrar uma função cuja derivada seja o integrando e avaliar essa primitiva nos limites.

Passo 3

Precisamos encontrar uma primitiva F(\theta) de f(\theta)=\operatorname{sen}\theta. Sabemos que a derivada de \cos\theta é -\operatorname{sen}\theta, isto é,
\frac{d}{d\theta}\big(\cos\theta\big) = -\operatorname{sen}\theta.
Logo, multiplicando por -1,
\frac{d}{d\theta}\big(-\cos\theta\big) = \operatorname{sen}\theta.
Portanto uma primitiva de \operatorname{sen}\theta é
F(\theta) = -\cos\theta.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(\theta)=-\cos\theta, a=-\pi/6 e b=\pi/3, temos
\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \operatorname{sen}\theta\,d\theta = F\big(\pi/3\big) - F\big(-\pi/6\big) = \big(-\cos(\pi/3)\big) - \big(-\cos(-\pi/6)\big).

Passo 5

Agora avaliamos os cossenos. Usamos que o cosseno é função par, isto é, \cos(-\alpha)=\cos\alpha. Então
\cos\big(\pi/3\big)=\tfrac{1}{2}, \qquad \cos\big(-\pi/6\big)=\cos\big(\pi/6\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão do Passo 4:
\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \operatorname{sen}\theta\,d\theta = -\tfrac{1}{2} - \big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}-1}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}

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