Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
Observação:
é contínua em todo
, portanto é contínua no intervalo fechado
, condição que permite aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui):
se é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
em
— isto é,
— então
se
Em palavras: para calcular a integral definida basta encontrar uma função cuja derivada seja o integrando e avaliar essa primitiva nos limites.
Passo 3
Precisamos encontrar uma primitiva
de
. Sabemos que a derivada de
é
, isto é,
Logo, multiplicando por
,
Portanto uma primitiva de
é
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com
,
e
, temos
Passo 5
Agora avaliamos os cossenos. Usamos que o cosseno é função par, isto é,
. Então
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão do Passo 4: