Calcule as integrais definidas:
\int_{\pi}^{2 \pi} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi} \theta\, d\theta.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de \pi até 2\pi.
  • A função a ser integrada é \theta (uma variável real, aqui representando o integrando).
  • Não há outras restrições; precisamos aplicar a noção de primitiva (antiderivada) e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida.

Passo 2

Entendendo o que é integrar aqui (uma aulinha rápida e amigável).
  • A integral definida \int_{a}^{b} f(x)\, dx mede a “área algébrica” sob a curva f(x) entre x=a e x=b.
  • Para calcular essa integral usamos uma primitiva (ou antiderivada) F(x) de f(x), isto é, uma função F tal que F'(x)=f(x).
  • O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a).
Aqui a notação d\theta indica que a variável de integração é \theta; é análogo a dx quando a variável é x.

Passo 3

Regra prática para encontrar primitivas (regra das potências).
  • Se f(x)=x^{n} com n\neq -1, então uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • No nosso caso f(\theta)=\theta é \theta^{1}. Aplicando a regra com n=1 obtemos a primitiva
F(\theta)=\frac{\theta^{1+1}}{1+1}=\frac{\theta^{2}}{2}.
Expliquei cada símbolo: \theta^{2} é \theta ao quadrado; dividir por 2 é parte da fórmula da primitiva.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao nosso integral.
  • Tomamos a primitiva F(\theta)=\dfrac{\theta^{2}}{2}.
  • Então
\int_{\pi}^{2\pi} \theta\, d\theta = F(2\pi) - F(\pi) = \frac{(2\pi)^{2}}{2} - \frac{(\pi)^{2}}{2}.
Mostrei explicitamente os pontos onde avaliamos a primitiva: em \theta=2\pi e em \theta=\pi.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcule (2\pi)^{2}:
(2\pi)^{2} = 4\pi^{2}.
  • Então
\frac{(2\pi)^{2}}{2} = \frac{4\pi^{2}}{2} = 2\pi^{2}.
  • Calcule \frac{(\pi)^{2}}{2} que é simplesmente \dfrac{\pi^{2}}{2}.
  • Subtraindo:
2\pi^{2} - \frac{\pi^{2}}{2} = \left(2 - \frac{1}{2}\right)\pi^{2} = \frac{3}{2}\pi^{2}.

Passo 6

Resumo interpretativo e um exemplo extra rápido para fixar.
  • Concluímos que a área algébrica sob a reta y=\theta entre \theta=\pi e \theta=2\pi é \dfrac{3\pi^{2}}{2}.
  • Para reforçar a técnica: se tivéssemos \int_{1}^{3} x\, dx, a primitiva é \dfrac{x^{2}}{2} e o valor seria \dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{9-1}{2}=4. Mesma ideia, passos iguais.

Resposta

\dfrac{3\pi^{2}}{2}

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