Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função a ser integrada é
(uma variável real, aqui representando o integrando). - Não há outras restrições; precisamos aplicar a noção de primitiva (antiderivada) e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida.
Passo 2
Entendendo o que é integrar aqui (uma aulinha rápida e amigável).
- A integral definida
mede a “área algébrica” sob a curva entre e . - Para calcular essa integral usamos uma primitiva (ou antiderivada)
de , isto é, uma função tal que . - O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma primitiva de , então
Aqui a notação
indica que a variável de integração é
; é análogo a
quando a variável é
.
Passo 3
Regra prática para encontrar primitivas (regra das potências).
- Se
com , então uma primitiva é
- No nosso caso
é . Aplicando a regra com obtemos a primitiva
Expliquei cada símbolo:
é
ao quadrado; dividir por
é parte da fórmula da primitiva.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao nosso integral.
- Tomamos a primitiva
. - Então
Mostrei explicitamente os pontos onde avaliamos a primitiva: em
e em
.
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas).
- Calcule
:
- Então
- Calcule
que é simplesmente . - Subtraindo:
Passo 6
Resumo interpretativo e um exemplo extra rápido para fixar.
- Concluímos que a área algébrica sob a reta
entre e é . - Para reforçar a técnica: se tivéssemos
, a primitiva é e o valor seria . Mesma ideia, passos iguais.