Uma força é descrita por
\vec{F}=-\widehat{x} \frac{y}{x^{2}+y^{2}}+\widehat{y} \frac{x}{x^{2}+y^{2}}
(a) Expresse \vec{F} em coordenadas cilíndricas circulares.
Usando coordenadas cilíndricas circulares:
(b) calcule o trabalho realizado por \vec{F} para percorrer o círculo unitário uma vez em sentido anti-horário.
(c) calcule o rotacional de \vec{F}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo dado em coordenadas cartesianas:
\vec{F}=-\widehat{x}\,\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+\widehat{y}\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Perguntas:
    (a) Expressar \vec{F} em coordenadas cilíndricas circulares (ou seja, coordenadas polares no plano): usar r, \varphi, \hat{r}, \hat{\varphi}.
    (b) Calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao percorrer o círculo unitário uma vez em sentido anti-horário.
    (c) Calcular o rotacional (curl) de \vec{F}.
Informações relevantes a usar:
  • As relações entre coordenadas cartesianas e polares:
x=r\cos\varphi,\qquad y=r\sin\varphi,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • As bases unitárias:
\hat{r}=\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\varphi\,\hat{y},\qquad \hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{x}+\cos\varphi\,\hat{y}.

Passo 2

Primeiro simplificar as componentes cartesianas usando x=r\cos\varphi e y=r\sin\varphi.
As componentes dadas são
F_x=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad F_y=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, temos
F_x=-\frac{r\sin\varphi}{r^{2}}=-\frac{\sin\varphi}{r}, \qquad F_y=\frac{r\cos\varphi}{r^{2}}=\frac{\cos\varphi}{r}.
Portanto em base cartesiana:
\vec{F}= \left(-\frac{\sin\varphi}{r}\right)\hat{x} + \left(\frac{\cos\varphi}{r}\right)\hat{y}.

Passo 3

Agora vamos projetar \vec{F} nas direções \hat{r} e \hat{\varphi}. Lembre que, para obter o componente radial faz-se produto escalar com \hat{r} e para o componente azimutal com \hat{\varphi}.
Calcular F_{r}=\vec{F}\cdot\hat{r}:
F_{r}=F_x\cos\varphi+F_y\sin\varphi =\left(-\frac{\sin\varphi}{r}\right)\cos\varphi+\left(\frac{\cos\varphi}{r}\right)\sin\varphi.
As duas parcelas são opostas e iguais em módulo, logo
F_{r}=0.
Calcular F_{\varphi}=\vec{F}\cdot\hat{\varphi}:
F_{\varphi}=-F_x\sin\varphi+F_y\cos\varphi =-\left(-\frac{\sin\varphi}{r}\right)\sin\varphi+\left(\frac{\cos\varphi}{r}\right)\cos\varphi =\frac{\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi}{r}=\frac{1}{r}.

Passo 4

Juntando os componentes na base polar, obtemos a forma do campo em coordenadas cilíndricas circulares:
\boxed{\displaystyle \vec{F}=0\cdot\hat{r}+\frac{1}{r}\,\hat{\varphi}=\frac{1}{r}\,\hat{\varphi}.}
Isto significa que o campo é puramente tangencial (no sentido \hat{\varphi}) com magnitude \dfrac{1}{r}.

Passo 5

Calcular o trabalho ao percorrer o círculo unitário uma vez no sentido anti-horário.
Definição: o trabalho (linha integral) ao longo de uma curva C é
W=\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}.
Para o círculo unitário parametrizamos em coordenadas polares:
r(\varphi)=1,\qquad \varphi\in[0,2\pi],
e o elemento de linha em coordenadas polares é
d\vec{\ell}=\hat{r}\,dr + r\,\hat{\varphi}\,d\varphi.
No círculo unitário dr=0 e r=1, logo
d\vec{\ell}=\hat{\varphi}\,d\varphi.
Usando \vec{F}=\dfrac{1}{r}\,\hat{\varphi} e r=1 sobre a curva:
\vec{F}\cdot d\vec{\ell}=\frac{1}{r}\,\hat{\varphi}\cdot(\hat{\varphi}\,d\varphi)=\frac{1}{1}\,d\varphi=d\varphi.
Integrando de \varphi=0 a \varphi=2\pi:
W=\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Portanto o trabalho é 2\pi. Observação física: o sentido anti-horário corresponde ao aumento de \varphi, então a integral direta é positiva.

Passo 6

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Como o campo vive no plano xy (com componente z nula e sem dependência de z), o rotacional tem apenas componente na direção z:
(\nabla\times\vec{F})_{z}=\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}.
Usar F_x=-\dfrac{y}{r^{2}} e F_y=\dfrac{x}{r^{2}} com r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Calcule \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^{2}}\right) =\frac{1}{r^{2}}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r^{2}}\right) =\frac{1}{r^{2}} + x\left(-1\right)\frac{2x}{r^{4}} =\frac{1}{r^{2}}-\frac{2x^{2}}{r^{4}}.
Calcule \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{r^{2}}\right) =-\frac{1}{r^{2}} - y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{r^{2}}\right) =-\frac{1}{r^{2}} - y\left(-1\right)\frac{2y}{r^{4}} =-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2y^{2}}{r^{4}}.
Agora a diferença:
(\nabla\times\vec{F})_{z} =\left(\frac{1}{r^{2}}-\frac{2x^{2}}{r^{4}}\right) -\left(-\frac{1}{r^{2}}+\frac{2y^{2}}{r^{4}}\right) =\frac{2}{r^{2}}-\frac{2(x^{2}+y^{2})}{r^{4}}.
Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, isto simplifica para
(\nabla\times\vec{F})_{z}=\frac{2}{r^{2}}-\frac{2r^{2}}{r^{4}}=0
desde que r>0.
Portanto, para todos os pontos com r>0 (ou seja, (x,y)\neq(0,0)),
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
Observação importante (didática e conceitual): apesar de o rotacional ser nulo em todo o plano exceto na origem, o campo não é gradiente de uma função globalmente definida no plano porque a origem é um ponto singular: a circulação ao redor de uma curva que envolve a origem (por exemplo o círculo unitário) é não nula ( 2\pi), o que mostra que o domínio onde o campo é definido e suave não é simplesmente conexo. Em termos mais avançados, o rotacional em sentido de distribuições tem uma contribuição concentrada na origem (relacionada a uma densidade tipo delta de Dirac), mas para o cálculo direto aqui o que importa é que \nabla\times\vec{F}=\vec{0} para r>0 e o campo é indefinido em r=0.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F}=\frac{1}{r}\,\hat{\varphi}.
(b) \displaystyle W=2\pi.
(c) \displaystyle \nabla\times\vec{F}=\vec{0}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0) (o campo é singular/indefinido na origem).

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