Uma força é descrita por
(a) Expresse
em coordenadas cilíndricas circulares.
Usando coordenadas cilíndricas circulares:
(b) calcule o trabalho realizado por
para percorrer o círculo unitário uma vez em sentido anti-horário.
(c) calcule o rotacional de
.
(b) calcule o trabalho realizado por
(c) calcule o rotacional de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo dado em coordenadas cartesianas:
- Perguntas:
(a) Expressarem coordenadas cilíndricas circulares (ou seja, coordenadas polares no plano): usar , , , .
(b) Calcular o trabalho realizado porao percorrer o círculo unitário uma vez em sentido anti-horário.
(c) Calcular o rotacional (curl) de.
Informações relevantes a usar:
- As relações entre coordenadas cartesianas e polares:
- As bases unitárias:
Passo 2
Primeiro simplificar as componentes cartesianas usando
e
.
As componentes dadas são
Como
, temos
Portanto em base cartesiana:
Passo 3
Agora vamos projetar
nas direções
e
. Lembre que, para obter o componente radial faz-se produto escalar com
e para o componente azimutal com
.
Calcular
:
As duas parcelas são opostas e iguais em módulo, logo
Calcular
:
Passo 4
Juntando os componentes na base polar, obtemos a forma do campo em coordenadas cilíndricas circulares:
Isto significa que o campo é puramente tangencial (no sentido
) com magnitude
.
Passo 5
Calcular o trabalho ao percorrer o círculo unitário uma vez no sentido anti-horário.
Definição: o trabalho (linha integral) ao longo de uma curva
é
Para o círculo unitário parametrizamos em coordenadas polares:
e o elemento de linha em coordenadas polares é
No círculo unitário
e
, logo
Usando
e
sobre a curva:
Integrando de
a
:
Portanto o trabalho é
. Observação física: o sentido anti-horário corresponde ao aumento de
, então a integral direta é positiva.
Passo 6
Calcular o rotacional
. Como o campo vive no plano
(com componente
nula e sem dependência de
), o rotacional tem apenas componente na direção
:
Usar
e
com
.
Calcule
:
Calcule
:
Agora a diferença:
Como
, isto simplifica para
desde que
.
Portanto, para todos os pontos com
(ou seja,
),
Observação importante (didática e conceitual): apesar de o rotacional ser nulo em todo o plano exceto na origem, o campo não é gradiente de uma função globalmente definida no plano porque a origem é um ponto singular: a circulação ao redor de uma curva que envolve a origem (por exemplo o círculo unitário) é não nula (
), o que mostra que o domínio onde o campo é definido e suave não é simplesmente conexo. Em termos mais avançados, o rotacional em sentido de distribuições tem uma contribuição concentrada na origem (relacionada a uma densidade tipo delta de Dirac), mas para o cálculo direto aqui o que importa é que
para
e o campo é indefinido em
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(o campo é singular/indefinido na origem).