Um cálculo do efeito de pinçamento (pinch) magneto-hidrodinâmico envolve a avaliação de (\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}. Se a indução magnética \vec{B} for considerada \vec{B}=\widehat{\varphi} B_{\varphi}(\rho), mostre que
(\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}=-\widehat{\rho} \frac{B_{\varphi}^{2}}{\rho}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • É dada a indução magnética \vec{B} na forma
\vec{B}=\widehat{\varphi}\,B_{\varphi}(\rho),
ou seja, só há componente azimutal \,B_{\varphi}\, que depende apenas da coordenada radial \rho.
  • O objetivo é calcular o termo convectivo em MHD
(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}
e mostrar que ele vale
-\widehat{\rho}\frac{B_{\varphi}^{2}}{\rho}.

Passo 2

Lembrete didático sobre coordenadas cilíndricas e operadores diferenciais (trecho obrigatório para entender a conta).
  • As versores em coordenadas cilíndricas são \widehat{\rho}, \widehat{\varphi}, \widehat{z}. Eles dependem da posição: especificamente, só dependem do ângulo \varphi.
  • O operador nabla em coordenadas cilíndricas vale
\vec{\nabla}=\widehat{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\rho}+\widehat{\varphi}\,\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\varphi}+\widehat{z}\,\frac{\partial}{\partial z}.
  • Importante: ao derivar um campo vetorial que é dado em versores locais, deve-se derivar tanto as componentes quanto os versores. As derivadas dos versores em relação a \varphi são
\frac{\partial\widehat{\rho}}{\partial\varphi}=\widehat{\varphi},\qquad \frac{\partial\widehat{\varphi}}{\partial\varphi}=-\widehat{\rho},
e as derivadas em relação a \rho e z são nulas:
\frac{\partial\widehat{\rho}}{\partial\rho}=\frac{\partial\widehat{\varphi}}{\partial\rho}=0,\qquad \frac{\partial\widehat{\rho}}{\partial z}=\frac{\partial\widehat{\varphi}}{\partial z}=0.
Essas relações podem ser lembradas pensando que \widehat{\rho} e \widehat{\varphi} giram quando \varphi muda.

Passo 3

Expressão conveniente para o operador direcional (\vec{B}\cdot\vec{\nabla}) em termos das componentes de \vec{B} em cilíndricas.
Se \vec{B}=B_{\rho}\,\widehat{\rho}+B_{\varphi}\,\widehat{\varphi}+B_{z}\,\widehat{z}, então a derivada direcional ao longo de \vec{B} é
(\vec{B}\cdot\vec{\nabla}) = B_{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\rho} + \frac{B_{\varphi}}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\varphi} + B_{z}\,\frac{\partial}{\partial z}.
Isto é apenas a combinação linear das derivadas parciais com os coeficientes das componentes do vetor campo.

Passo 4

Aplicar as informações do problema às fórmulas do passo anterior.
No nosso caso temos \vec{B}=\widehat{\varphi}\,B_{\varphi}(\rho). Logo as componentes são
B_{\rho}=0,\qquad B_{\varphi}=B_{\varphi}(\rho),\qquad B_{z}=0.
Portanto o operador direcional reduz-se a
(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})=\frac{B_{\varphi}(\rho)}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}.

Passo 5

Agora aplicamos esse operador ao próprio \vec{B}:
(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}=\frac{B_{\varphi}(\rho)}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(B_{\varphi}(\rho)\,\widehat{\varphi}\bigr).
Aqui atenção didática: B_{\varphi}(\rho) depende apenas de \rho, logo \partial B_{\varphi}/\partial\varphi=0. Assim a única contribuição vem da derivada do versor \widehat{\varphi} em relação a \varphi.

Passo 6

Usando \partial\widehat{\varphi}/\partial\varphi=-\widehat{\rho} e \partial B_{\varphi}/\partial\varphi=0, temos
\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(B_{\varphi}(\rho)\,\widehat{\varphi}\bigr) =B_{\varphi}(\rho)\,\frac{\partial\widehat{\varphi}}{\partial\varphi} = B_{\varphi}(\rho)\,(-\widehat{\rho}) = -\widehat{\rho}\,B_{\varphi}(\rho).
Substituindo na expressão do passo anterior:
(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} =\frac{B_{\varphi}(\rho)}{\rho}\,\bigl(-\widehat{\rho}\,B_{\varphi}(\rho)\bigr) = -\widehat{\rho}\,\frac{B_{\varphi}(\rho)^{2}}{\rho}.

Passo 7

Interpretação curta (motivacional): o termo aparece na direção radial negativa porque a curvatura das linhas de campo azimutais gera um esforço que aponta para o centro (efeito de “pinch”). Matemática e fisicamente isso é consequência da variação do versor \widehat{\varphi} com \varphi.

Resposta

-\widehat{\rho}\,\dfrac{B_{\varphi}^{2}}{\rho}

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