Um cálculo do efeito de pinçamento (pinch) magneto-hidrodinâmico envolve a avaliação de
. Se a indução magnética
for considerada
, mostre que
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- É dada a indução magnética
na forma
ou seja, só há componente azimutal
que depende apenas da coordenada radial
.
- O objetivo é calcular o termo convectivo em MHD
e mostrar que ele vale
Passo 2
Lembrete didático sobre coordenadas cilíndricas e operadores diferenciais (trecho obrigatório para entender a conta).
- As versores em coordenadas cilíndricas são
, , . Eles dependem da posição: especificamente, só dependem do ângulo . - O operador nabla em coordenadas cilíndricas vale
- Importante: ao derivar um campo vetorial que é dado em versores locais, deve-se derivar tanto as componentes quanto os versores. As derivadas dos versores em relação a
são
e as derivadas em relação a
e
são nulas:
Essas relações podem ser lembradas pensando que
e
giram quando
muda.
Passo 3
Expressão conveniente para o operador direcional
em termos das componentes de
em cilíndricas.
Se
, então a derivada direcional ao longo de
é
Isto é apenas a combinação linear das derivadas parciais com os coeficientes das componentes do vetor campo.
Passo 4
Aplicar as informações do problema às fórmulas do passo anterior.
No nosso caso temos
. Logo as componentes são
Portanto o operador direcional reduz-se a
Passo 5
Agora aplicamos esse operador ao próprio
:
Aqui atenção didática:
depende apenas de
, logo
. Assim a única contribuição vem da derivada do versor
em relação a
.
Passo 6
Usando
e
, temos
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 7
Interpretação curta (motivacional): o termo aparece na direção radial negativa porque a curvatura das linhas de campo azimutais gera um esforço que aponta para o centro (efeito de “pinch”). Matemática e fisicamente isso é consequência da variação do versor
com
.