Força elétrica dentro do átomo. Vamos comparar os valores típicos entre intensidade da força gravitacional F_{g} e a força eletrostática F_{e} entre um elétron e um próton no interior do átomo de hidrogênio. Para isso, considere dados: raio médio do átomo a_{0}=0,53 \AA \quad carga elétrica do elétron e=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} massa do próton m_{p}=1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} constante de gravitação universal G=6,7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg} massa do elétron m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \quad permissividade elétrica do vácuo \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} \cdot \mathrm{~N}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-2}.
Determine a velocidade angular \omega do elétron em torno do próton.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a velocidade angular \omega do elétron em torno do próton no átomo de hidrogênio (modelo clássico/Bohr: elétron descreve órbita circular de raio a_0).
Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
  • raio médio do átomo: a_{0}=0,53\\ \AA.
  • carga do elétron: e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • massa do elétron: m_{e}=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • massa do próton: m_{p}=1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (não será necessária para o cálculo de \omega no modelo com próton fixo).
  • permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}\!\cdot\!\mathrm{N}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-2}.
  • constante de gravitação e força gravitacional são dados no enunciado mas aqui são desprezíveis frente à força eletrostática (não serão usadas para \omega).
Observação de unidade: vamos usar 1\\ \AA = 10^{-10}\\ \mathrm{m}, então o raio em SI é r=a_{0}=0,53\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Ideia física e equações que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • A força eletrostática entre elétron e próton (lei de Coulomb) tem módulo
F_{e}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Explicando: \;e é a carga elementar (módulo), \;r é a separação entre as cargas, e \;1/(4\pi\varepsilon_{0}) é a constante que aparece na lei de Coulomb em unidades SI.
  • Para que o elétron descreva uma órbita circular de raio r com velocidade linear v, a força centrípeta necessária é
F_{\text{cent}}=m_{e}\frac{v^{2}}{r}.
Explicando: m_{e} é a massa do elétron; v^{2}/r é a aceleração centrípeta.
  • No equilíbrio orbital (modelo clássico/Bohr), a força eletrostática fornece a força centrípeta:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}=m_{e}\frac{v^{2}}{r}.

Passo 3

Isolar a velocidade linear v e depois a velocidade angular \omega:
  • Primeiro, simplificando a igualdade:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}=m_{e}\frac{v^{2}}{r} \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{1}{m_{e}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
  • A velocidade angular \omega está relacionada a v por \;v=\omega r. Assim
\omega=\frac{v}{r}=\sqrt{\frac{1}{m_{e}r^{3}}\cdot\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} }.
Explicando cada termo na fórmula final: \;e (C), \;\varepsilon_{0} (constante eletrostática), \;m_{e} (massa do elétron), \;r (raio da órbita). A unidade resultante é \mathrm{s^{-1}}, adequada para velocidade angular.

Passo 4

Converter valores e calcular constantes intermediárias (cada número dentro de ... é em SI):
  • raio em metros:
r = a_{0} = 0,53\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 5,3\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • calcular 4\pi\varepsilon_{0}:
4\pi\varepsilon_{0}=4\pi\times\left(8,85\times10^{-12}\right) \approx 1,11265\times10^{-10}.

Passo 5

Calcular e^{2} e o numerador \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}:
  • e^{2}=(1,6\times10^{-19})^{2}=2,56\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
  • Portanto
\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} =\frac{2,56\times10^{-38}}{1,11265\times10^{-10}} \approx 2,300\times10^{-28}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
(As unidades ficam \mathrm{C^{2}}/(\mathrm{C^{2}N^{-1}m^{-2}})=\mathrm{N\cdot m^{2}}.)

Passo 6

Calcular r^{3} e m_{e}r^{3}:
  • r^{3}=(5,3\times10^{-11})^{3}=1,48877\times10^{-31}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • m_{e}r^{3}=(9,11\times10^{-31})\times(1,48877\times10^{-31}) \approx 1,3569\times10^{-61}\\ \mathrm{kg\cdot m^{3}}.

Passo 7

Montar o argumento do radical na expressão de \omega e calcular esse valor:
\omega^{2}=\frac{1}{m_{e}r^{3}}\cdot\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} =\frac{2,300\times10^{-28}}{1,3569\times10^{-61}} \approx 1,695\times10^{33}\\ \mathrm{s^{-2}}.

Resposta

\omega \approx 4,12\times10^{16}\\ \mathrm{s^{-1}}

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