Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
( ) A força elétrica entre uma esfera condutora carregada positivamente e uma carga puntiforme também carregada positivamente é sempre repulsiva, independente da distância entre elas.

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. A afirmação é: “A força elétrica entre uma esfera condutora carregada positivamente e uma carga puntiforme também carregada positivamente é sempre repulsiva, independente da distância entre elas.”
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • Existe uma esfera condutora com carga total positiva, chamo-a de Q>0.
  • Existe uma carga puntiforme com carga positiva, chamo-a de q>0.
  • A distância entre a carga puntiforme e o centro da esfera é d (podemos considerar d medido desde o centro da esfera).
  • A esfera tem raio R (é útil para estimativas).
O que se pede: determinar se a força entre elas é sempre repulsiva para todo d, e justificar a resposta.

Passo 2

Entendimento físico qualitativo (fórmula mental antes de contas): numa esfera metálica (condutora) as cargas livres podem se mover. Quando uma carga positiva externa q se aproxima, os elétrons do metal são atraídos para a face mais próxima, criando carga negativa induzida na face próxima e deixando excesso de carga positiva na face oposta. Portanto, mesmo que o corpo tenha carga total positiva Q, haverá uma distribuição não uniforme: carga negativa mais próxima e carga positiva mais afastada. Assim surgem dois efeitos concorrentes sobre q:
  • Uma força repulsiva aproximadamente igual à interação monopolo-monopolo entre q e a carga total Q.
  • Uma força atrativa devido à proximidade da carga negativa induzida no lado mais próximo (efeito de polarização), que pode ser forte quando q está muito perto.
O sinal da força resultante depende de qual efeito domina (repulsivo por Q ou atrativo por indução). Por isso já é plausível que a força não seja sempre repulsiva.

Passo 3

Modelo aproximado (quando d não é muito menor que R nem muito complicado): tratamos a esfera condutora como um objeto que pode ser descrito, diante de um campo externo, por um momento dipolar induzido \mathbf{p}. Para uma esfera condutora perfeita de raio R imersa em um campo elétrico uniforme \mathbf{E}, o momento dipolar induzido vale
\mathbf{p}=4\pi\epsilon_0 R^{3}\,\mathbf{E},
onde:
  • \mathbf{p} é o momento dipolar induzido (unidade C·m),
  • \epsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo,
  • R é o raio da esfera,
  • \mathbf{E} é o campo elétrico externo no local (assumido aproximadamente uniforme sobre a esfera).
Explicação do porquê: uma condutora perfeita, se sujeita a um campo externo, redistribui cargas até que o interior fique sem campo; a solução para a esfera leva a esse fator 4\pi\epsilon_0 R^3 como “polarizabilidade” da esfera.

Passo 4

Campo da carga puntiforme e dipolo induzido (aproximação para d\gg R ou pelo menos para usar campo no centro): o campo gerado por q no centro da esfera (ou na posição da esfera, aproximando a variação sobre a esfera) é aproximadamente
E \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q}{d^{2}},
onde d é a distância centro-da-carga. Substituindo em \mathbf{p} (tomando módulo e alinhamento radial),
p \approx 4\pi\epsilon_0 R^{3}\cdot\left(\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{d^{2}}\right)=\dfrac{R^{3}q}{d^{2}}.
Comentário: p cresce com R^{3} (esferas maiores se polarizam mais) e cai quando a carga está mais longe ( \sim 1/d^{2}).

Passo 5

Força entre a carga pontual q e o dipolo induzido p: para um dipolo alinhado radialmente com a carga em distância d, a magnitude da força atrativa aproximada é (campo de dipolo no eixo)
F_{\text{dip}} \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{2\,p\,q}{d^{3}}.
Substituindo p da estimativa anterior obtemos
F_{\text{dip}} \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{2\,R^{3}q^{2}}{d^{5}}.
Observações:
  • Esse termo corresponde a uma atração (sinal negativo se formos checar a direção), porque o dipolo induzido tem carga negativa mais próxima e produz efeito atrativo sobre q>0.
  • Note a dependência forte com a distância: F_{\text{dip}}\propto 1/d^{5}. Ou seja, cresce muito quando d diminui.

Passo 6

Força monopolar (devida à carga total Q da esfera): a contribuição repulsiva “monopolo–carga” para a magnitude da força é, pela lei de Coulomb,
F_{\text{mon}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{Q\,q}{d^{2}},
que é repulsiva porque Q>0 e q>0.
Comparando as duas forças (módulos), a razão é
\frac{F_{\text{dip}}}{F_{\text{mon}}} = \frac{\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2R^{3}q^{2}}{d^{5}}} {\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q q}{d^{2}}} = \dfrac{2R^{3}q}{Q\,d^{3}}.
Se essa razão for maior que 1, a atração induzida domina sobre a repulsão monopolar; se for menor que 1, a repulsão domina.
Resolvendo a igualdade para achar a distância crítica d_{\text{crit}} onde as magnitudes se equilibram:
\dfrac{2R^{3}q}{Q\,d^{3}}=1 \quad\Rightarrow\quad d^{3}= \dfrac{2R^{3}q}{Q} \quad\Rightarrow\quad d=R\left(\dfrac{2q}{Q}\right)^{1/3}.
Interpretação:
  • Se d<d_{\text{crit}}=R\left(\dfrac{2q}{Q}\right)^{1/3}, então F_{\text{dip}}>F_{\text{mon}} e a força líquida é atrativa.
  • Se d>d_{\text{crit}}, então F_{\text{mon}}>F_{\text{dip}} e a força líquida é repulsiva.

Passo 7

Conclusão e exemplos qualitativos:
  • Para distâncias grandes a força é repulsiva (comportamento dominado pela carga total Q da esfera).
  • Para distâncias suficientemente pequenas a polarização da superfície da esfera pode causar uma atração, mesmo que ambas as cargas sejam positivas.
  • Exemplos limites:
    • Esfera neutra ( Q=0): sempre atração (a indução gera sempre atração).
    • Esfera aterrada (pode trocar carga com o terra): também haverá atração independente do sinal da carga externa.
    • Esfera isolada com Q>0: o sinal da força depende de d e das magnitudes de Q e q, conforme mostrado.
Portanto, a afirmação original (“sempre repulsiva, independente da distância”) é falsa.

Resposta

Falso

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