Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
( ) A força elétrica entre uma esfera condutora carregada positivamente e uma carga puntiforme também carregada positivamente é sempre repulsiva, independente da distância entre elas.
( ) A força elétrica entre uma esfera condutora carregada positivamente e uma carga puntiforme também carregada positivamente é sempre repulsiva, independente da distância entre elas.
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique. A afirmação é: “A força elétrica entre uma esfera condutora carregada positivamente e uma carga puntiforme também carregada positivamente é sempre repulsiva, independente da distância entre elas.”
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
- Existe uma esfera condutora com carga total positiva, chamo-a de
. - Existe uma carga puntiforme com carga positiva, chamo-a de
. - A distância entre a carga puntiforme e o centro da esfera é
(podemos considerar medido desde o centro da esfera). - A esfera tem raio
(é útil para estimativas).
O que se pede: determinar se a força entre elas é sempre repulsiva para todo
, e justificar a resposta.
Passo 2
Entendimento físico qualitativo (fórmula mental antes de contas): numa esfera metálica (condutora) as cargas livres podem se mover. Quando uma carga positiva externa
se aproxima, os elétrons do metal são atraídos para a face mais próxima, criando carga negativa induzida na face próxima e deixando excesso de carga positiva na face oposta. Portanto, mesmo que o corpo tenha carga total positiva
, haverá uma distribuição não uniforme: carga negativa mais próxima e carga positiva mais afastada. Assim surgem dois efeitos concorrentes sobre
:
- Uma força repulsiva aproximadamente igual à interação monopolo-monopolo entre
e a carga total . - Uma força atrativa devido à proximidade da carga negativa induzida no lado mais próximo (efeito de polarização), que pode ser forte quando
está muito perto.
O sinal da força resultante depende de qual efeito domina (repulsivo por
ou atrativo por indução). Por isso já é plausível que a força não seja sempre repulsiva.
Passo 3
Modelo aproximado (quando
não é muito menor que
nem muito complicado): tratamos a esfera condutora como um objeto que pode ser descrito, diante de um campo externo, por um momento dipolar induzido
. Para uma esfera condutora perfeita de raio
imersa em um campo elétrico uniforme
, o momento dipolar induzido vale
onde:
-
é o momento dipolar induzido (unidade C·m), -
é a permissividade elétrica do vácuo, -
é o raio da esfera, -
é o campo elétrico externo no local (assumido aproximadamente uniforme sobre a esfera).
Explicação do porquê: uma condutora perfeita, se sujeita a um campo externo, redistribui cargas até que o interior fique sem campo; a solução para a esfera leva a esse fator
como “polarizabilidade” da esfera.
Passo 4
Campo da carga puntiforme e dipolo induzido (aproximação para
ou pelo menos para usar campo no centro): o campo gerado por
no centro da esfera (ou na posição da esfera, aproximando a variação sobre a esfera) é aproximadamente
onde
é a distância centro-da-carga. Substituindo em
(tomando módulo e alinhamento radial),
Comentário:
cresce com
(esferas maiores se polarizam mais) e cai quando a carga está mais longe (
).
Passo 5
Força entre a carga pontual
e o dipolo induzido
: para um dipolo alinhado radialmente com a carga em distância
, a magnitude da força atrativa aproximada é (campo de dipolo no eixo)
Substituindo
da estimativa anterior obtemos
Observações:
- Esse termo corresponde a uma atração (sinal negativo se formos checar a direção), porque o dipolo induzido tem carga negativa mais próxima e produz efeito atrativo sobre
. - Note a dependência forte com a distância:
. Ou seja, cresce muito quando diminui.
Passo 6
Força monopolar (devida à carga total
da esfera): a contribuição repulsiva “monopolo–carga” para a magnitude da força é, pela lei de Coulomb,
que é repulsiva porque
e
.
Comparando as duas forças (módulos), a razão é
Se essa razão for maior que
, a atração induzida domina sobre a repulsão monopolar; se for menor que
, a repulsão domina.
Resolvendo a igualdade para achar a distância crítica
onde as magnitudes se equilibram:
Interpretação:
- Se
, então e a força líquida é atrativa. - Se
, então e a força líquida é repulsiva.
Passo 7
Conclusão e exemplos qualitativos:
- Para distâncias grandes a força é repulsiva (comportamento dominado pela carga total
da esfera). - Para distâncias suficientemente pequenas a polarização da superfície da esfera pode causar uma atração, mesmo que ambas as cargas sejam positivas.
- Exemplos limites:
- Esfera neutra (
): sempre atração (a indução gera sempre atração). - Esfera aterrada (pode trocar carga com o terra): também haverá atração independente do sinal da carga externa.
- Esfera isolada com
: o sinal da força depende de e das magnitudes de e , conforme mostrado.
- Esfera neutra (
Portanto, a afirmação original (“sempre repulsiva, independente da distância”) é falsa.
Resposta
Falso