Uma força F=2 x^3, ( x é dado em metros e F em newtons), atua sobre uma caixa ( m=1,2 kg ) durante um deslocamento de x=1,5 m até x=3 m. Sabendo-se que a velocidade da caixa era nula em x=1,5 m, calcule sua velocidade em x=3 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força que depende da posição, dada por $ F = 2x^{3} $ (onde $ x $ está em metros e $ F $ em newtons), atuando sobre uma caixa de massa $ m = 1,2 , kg $. A caixa se move do ponto $ x = 1,5 , m $ até $ x = 3 , m $, e ela começa com velocidade zero em $ x = 1,5 , m $. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da caixa em $ x = 3 , m $. Para isso, vamos usar os conceitos de trabalho e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento é igual à mudança na energia cinética da caixa. A fórmula do trabalho $ W $ quando a força varia com a posição é dada pela integral da força em relação ao deslocamento:
W
Aqui, $ x_i = 1,5 , m $ e $ x_f = 3 , m $.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho realizado pela força $ F = 2x^{3} $:
F = 2x^3
Integrando:
W = integral1,5^3 2x^3 , dx
Calculando os valores:
W = 2 integral1,5^3 x^3 , dx = 2 [ x^44 ]1,5^3 = 24 [ x^4 ]1,5^3 = 12 ( 3^4 - 1,5^4 )
3^4 = 81
Então:
1,5^4 = 5,0625

Passo 4

Agora, sabemos que a variação da energia cinética $ \Delta KE $ é igual ao trabalho realizado:
De
Como a velocidade inicial é zero, a energia cinética inicial $ KE_i = 0 $. Então:
De
Substituindo os valores:
KEi = 0
KEf = 12 m v^2 = W
Dividindo ambos os lados por 0,6:
12 times 1,2 times v^2 = 37,96875

Resposta

A velocidade da caixa em $ x = 3 , m $ é aproximadamente $ v = 7,95 , m/s $.

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