Uma força
, (
é dado em metros e
em newtons), atua sobre uma caixa (
) durante um deslocamento de
até
. Sabendo-se que a velocidade da caixa era nula em
, calcule sua velocidade em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força que depende da posição, dada por $ F = 2x^{3} $ (onde $ x $ está em metros e $ F $ em newtons), atuando sobre uma caixa de massa $ m = 1,2 , kg $. A caixa se move do ponto $ x = 1,5 , m $ até $ x = 3 , m $, e ela começa com velocidade zero em $ x = 1,5 , m $. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da caixa em $ x = 3 , m $. Para isso, vamos usar os conceitos de trabalho e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento é igual à mudança na energia cinética da caixa. A fórmula do trabalho $ W $ quando a força varia com a posição é dada pela integral da força em relação ao deslocamento:
Aqui, $ x_i = 1,5 , m $ e $ x_f = 3 , m $.
Passo 3
Vamos calcular o trabalho realizado pela força $ F = 2x^{3} $:
Integrando:
Calculando os valores:
Então:
Passo 4
Agora, sabemos que a variação da energia cinética $ \Delta KE $ é igual ao trabalho realizado:
Como a velocidade inicial é zero, a energia cinética inicial $ KE_i = 0 $. Então:
Substituindo os valores:
Dividindo ambos os lados por 0,6:
Resposta
A velocidade da caixa em $ x = 3 , m $ é aproximadamente $ v = 7,95 , m/s $.