A força gravitacional de um astronauta na Lua, isto é, seu peso na superfície da Lua, é de 96 N. Na superfície da Terra, o peso desse astronauta é de 600 N.
Se os raios da Lua e da Terra são, respectivamente, 6,4 x 10m e 1,6 x 10m, a razão entre a massa da Terra e a da Lua, MT/Ml é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a razão entre a massa da Terra (MT) e a massa da Lua (ML). A gente sabe o peso de um astronauta na Lua (96 N) e na Terra (600 N), além dos raios de cada um desses corpos celestes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força gravitacional e como o peso depende dessa força. Precisamos das fórmulas que relacionam peso com massa e a força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o peso (W) de um objeto é a força gravitacional que a Terra ou a Lua exerce sobre ele. A fórmula para o peso é:
W = m cdot g
Onde:
  • $ W $ é o peso,
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade no local.

Passo 3

A aceleração da gravidade ($ g $) depende da massa do corpo celeste e do raio dele. A fórmula para $ g $ é:
g
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa do corpo celeste (Terra ou Lua),
  • $ R $ é o raio do corpo celeste.

Passo 4

Vamos escrever a expressão do peso na Terra ($ W_T WT W_L $) usando as fórmulas acima.
Para a Terra:
WL
Para a Lua:
WT = m cdot gT = m cdot G cdot MTRT^2

Passo 5

Agora, vamos dividir a equação do peso na Terra pela equação do peso na Lua para eliminar a massa do astronauta ($ m m G $):
G
Sabemos que $ W_T = 600 , N $ e $ W_L = 96 , N $. Também temos os raios:
  • $ R_L = 6,4 \times 10^6 , m $
  • $ R_T = 1,6 \times 10^7 , m $
Vamos substituir esses valores na equação:
WTWL = G cdot MTRT^2G cdot MLRL^2 = MTML cdot (RLRT)^2

Passo 6

Primeiro, simplificamos a fração dos pesos:
60096 = 6,25
Agora, vamos simplificar a fração dos raios:
6,4 times 10^61,6 times 10^7 = 6,416 = 0,4
Elevando 0,4 ao quadrado:
0,4^2 = 0,16
Agora, substituímos de volta na equação:
6,25 = MTML cdot 0,16
Para encontrar $ \frac{M_T}{M_L} $, dividimos ambos os lados por 0,16:
MTML

Resposta

A razão entre a massa da Terra e a massa da Lua é aproximadamente $ 39 $.

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