A força gravitacional de um astronauta na Lua, isto é, seu peso na superfície da Lua, é de 96 N. Na superfície da Terra, o peso desse astronauta é de 600 N.
Se os raios da Lua e da Terra são, respectivamente, 6,4 x 10m e 1,6 x 10m, a razão entre a massa da Terra e a da Lua, MT/Ml é
Se os raios da Lua e da Terra são, respectivamente, 6,4 x 10m e 1,6 x 10m, a razão entre a massa da Terra e a da Lua, MT/Ml é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a razão entre a massa da Terra (MT) e a massa da Lua (ML). A gente sabe o peso de um astronauta na Lua (96 N) e na Terra (600 N), além dos raios de cada um desses corpos celestes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força gravitacional e como o peso depende dessa força. Precisamos das fórmulas que relacionam peso com massa e a força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o peso (W) de um objeto é a força gravitacional que a Terra ou a Lua exerce sobre ele. A fórmula para o peso é:
Onde:
- $ W $ é o peso,
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ g $ é a aceleração da gravidade no local.
Passo 3
A aceleração da gravidade ($ g $) depende da massa do corpo celeste e do raio dele. A fórmula para $ g $ é:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa do corpo celeste (Terra ou Lua),
- $ R $ é o raio do corpo celeste.
Passo 4
Vamos escrever a expressão do peso na Terra ($ W_T
W_L $) usando as fórmulas acima.
Para a Terra:
Para a Lua:
Passo 5
Agora, vamos dividir a equação do peso na Terra pela equação do peso na Lua para eliminar a massa do astronauta ($ m
G $):
Sabemos que $ W_T = 600 , N $ e $ W_L = 96 , N $. Também temos os raios:
- $ R_L = 6,4 \times 10^6 , m $
- $ R_T = 1,6 \times 10^7 , m $
Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Primeiro, simplificamos a fração dos pesos:
Agora, vamos simplificar a fração dos raios:
Elevando 0,4 ao quadrado:
Agora, substituímos de volta na equação:
Para encontrar $ \frac{M_T}{M_L} $, dividimos ambos os lados por 0,16:
Resposta
A razão entre a massa da Terra e a massa da Lua é aproximadamente $ 39 $.