Instruções gerais: Para cada problema abaixo, determine as reações nos apoios A e B e trace os diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF). Considere as vigas com peso próprio desprezível. Unidades: kN e m .
Uma viga simplesmente apoiada de 12 m de comprimento suporta uma carga distribuída uniforme de
nos primeiros 5 metros a partir do apoio esquerdo, uma carga concentrada de 30 kN a 7 m do apoio esquerdo e um momento concentrado de
no apoio direito.
Uma viga simplesmente apoiada de 12 m de comprimento suporta uma carga distribuída uniforme de
Passo 1
O enunciado dá uma viga simplesmente apoiada com comprimento
. As cargas são:
Peça: determinar as reações verticais em
e
(vou chamar de
e
) e traçar os diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos transformar a carga distribuída em sua resultante concentrada (para usar nas equações de equilíbrio) e localizar sua aplicação.
A resultante da distribuição é
A resultante da distribuição é
A posição dessa resultante a partir de
(centro da área da distribuição) é
Explicação breve do porquê: uma carga uniforme sobre um trecho de comprimento
equivale a uma força
aplicada no baricentro do trecho, isto é, no meio (a
do início do trecho).
Passo 3
Escolhas de sinal e convenções (importante para não se perder):
- Forças verticais para cima positivas.
- Momentos no sentido anti-horário (CCW) positivos.
- Vou assumir que o momento concentrado dado
é positivo no sentido CCW (se ele fosse CW trocaríamos o sinal; procedimento é o mesmo).
Equilíbrios estáticos:
- Equilíbrio vertical:
- Momento em relação a
( ). Atenção: o momento concentrado no apoio direito aparece diretamente na equação (é um momento externo ao corpo):
Substituindo números:
Calcule os termos:
Então
Logo
E de
vem
Comentário didático: o momento concentrado no apoio entra na soma dos momentos porque é um momento externo; ele não gera força vertical e portanto não altera a equação de forças verticais, mas altera a distribuição de momentos e, via equilíbrio de momentos, muda as reações verticais.
Passo 4
Agora montamos o Diagrama de Esforço Cortante (DEC). Vou dividir a viga em trechos sem variações de carregamento:
(trecho com
),
(trecho sem
e antes da carga concentrada),
(após a carga concentrada até o apoio direito).
Região 1:
. A equação do esforço cortante é obtida somando forças verticais à esquerda de uma seção a distância
:
Substituindo
e
:
Valores importantes:
Região 2:
. A distribuição já terminou, então a força resultante
já está incorporada:
Em
há uma carga concentrada
para baixo, que provoca uma queda instantânea no DEC de magnitude
:
Região 3:
. Após o ponto de carga:
No apoio direito em
a reação
atua para cima; isso faz o DEC saltar de
para
(equilíbrio final). Esse salto final é igual a
, que é a reação
.
Didática rápida: o DEC é a derivada do DMF (
). Onde há distribuição
, o DEC varia linearmente; onde há apenas forças concentradas, o DEC tem saltos; em trechos sem carga o DEC é constante.
Passo 5
Agora o Diagrama de Momento Fletor (DMF). Integramos o DEC (ou usamos somas de momentos à esquerda).
Região 1:
. Tomando seção em
,
Substituindo:
Valores importantes:
Região 2:
. Aqui podemos usar a resultante
aplicada em
. Para
(mas antes de
):
Simplificando:
Verificação de continuidade:
No ponto
(imediatamente à esquerda):
Observação: a carga concentrada em
provoca salto no DEC, mas o momento é contínuo (não há salto no DMF devido a força concentrada).
Região 3:
. Após incluir a carga concentrada:
Substituindo e simplificando:
Verificações:
Agora o momento concentrado
no apoio direito causa uma descontinuidade do DMF na própria posição
igual ao valor do momento aplicado. Como o comprimento do trecho termina em
, o DMF no lado esquerdo do apoio vale
. O momento aplicado no ponto é compatível com esse valor (sinais dependem da convenção adotada; adotamos
CCW positivo).
Didática sobre continuidade e saltos:
- Força concentrada causa salto no DEC, mas o DMF permanece contínuo nesse ponto.
- Momento concentrado causa salto no DMF (descontinuidade de magnitude igual ao momento aplicado), enquanto o DEC não é afetado por momentos concentrados.
Passo 6
Pontos-chave para desenhar os diagramas (use estes pares para esboçar):
DEC (esforço cortante) — pontos :
DEC (esforço cortante) — pontos
Formato do DEC:
- Em
: reta decrescente (inclinação kN/m). - Em
: reta horizontal kN. - Em
: reta horizontal kN. - Saltos: em
queda de kN; em subida de kN (reação em ).
DMF (momento fletor) — pontos
:
Formato do DMF:
- Em
: curva quadrática (concavidade determinada pelo sinal do DEC). - Em
: reta . - Em
: reta . - Em
há o momento concentrado de aplicado no apoio, que representa a descontinuidade (na prática o DMF atinge imediatamente à esquerda do apoio; o salto é o momento do concentrado conforme convenção adotada).
Máximo do momento fletor:
- Observando os valores calculados, o máximo positivo é
(Verificamos que não há raiz de
dentro do primeiro trecho válida além de
, portanto o máximo aparece na borda do trecho antes da carga concentrada.)
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova (como desenhar rápido):
- Calcule resultante da distribuição e sua posição.
- Use
e (escolhendo um ponto) para obter . Lembre-se de incluir momentos concentrados na equação de momentos. - Monte o DEC por trechos: inclinação
quando há distribuição; saltos de magnitude igual a forças concentradas; salto final para zerar o DEC com a reação do apoio. - Obtenha o DMF integrando o DEC (ou somando momentos à esquerda): curvas/quadráticas em trechos de
, retas em trechos sem ; momentos concentrados produzem saltos no DMF. - Marque pontos críticos (início/fim de distribuição, posições das forças, apoios) e calcule
e nesses pontos para esboçar com segurança.
Resposta
DEC (expressões por trecho): \
(com saltos: em
queda de
kN; em
salto
kN para zerar o DEC devido a
) \
DMF (expressões por trecho): \
(Valores chave:
. O momento concentrado
no apoio direito corresponde à descontinuidade do DMF no ponto
.)