Instruções gerais: Para cada problema abaixo, determine as reações nos apoios A e B e trace os diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF). Considere as vigas com peso próprio desprezível. Unidades: kN e m .
Uma viga simplesmente apoiada de 6 m de comprimento suporta uma carga distribuída senoidal com intensidade máxima de 10 \mathrm{kN} / \mathrm{m} no centro do vão. Dica: q(x)=10 \sin \left(\frac{\pi x}{6}\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as reações nos apoios A e B e que trace (ou descreva) os diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF) para uma viga simplesmente apoiada de comprimento 6\\ \mathrm{m} sujeita à carga distribuída senoidal dada. Informações relevantes fornecidas:
q(x)=10\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\quad\text{(kN/m), com }0\le x\le6.
O comprimento do vão é 6\\ \mathrm{m}. Considerar peso próprio desprezível. As perguntas são, portanto:
  1. Calcular as reações verticais R_A e R_B.
  2. Determinar o esforço cortante interno V(x) para 0\le x\le6 e descrever/traçar o DEC.
  3. Determinar o momento fletor interno M(x) para 0\le x\le6 e descrever/traçar o DMF.

Passo 2

Vou começar calculando a carga total resultante Q da distribuição q(x). A carga total é a integral de q(x) sobre o vão:
Q=\int_{0}^{6} q(x)\,dx = \int_{0}^{6} 10\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\,dx.
Para integrar uso a primitiva de \sin, sabendo que \int \sin(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax) (onde a é constante). Aqui a=\dfrac{\pi}{6}. Portanto:
Q = 10\left[-\frac{1}{a}\cos\!\left(a x\right)\right]_{0}^{6} =10\left[-\frac{1}{\pi/6}\big(\cos(\pi)-\cos(0)\big)\right].
Calculo dos cossenos: \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1. Substituindo:
Q = 10\left[-\frac{6}{\pi}(-1-1)\right] =10\left[-\frac{6}{\pi}(-2)\right] =10\left(\frac{12}{\pi}\right)=\frac{120}{\pi}\\ \text{kN}.

Passo 3

Equilíbrio vertical: a soma das reações deve igualar Q:
R_A+R_B = \frac{120}{\pi}.
Para obter as reações individuais uso equilíbrio de momentos em torno de A. Tomando momentos positivos no sentido anti-horário:
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B\cdot6 - \int_{0}^{6} q(x)\,x\,dx = 0.
Logo
R_B = \frac{1}{6}\int_{0}^{6} q(x)\,x\,dx.
Agora calculo a integral I=\int_{0}^{6} 10x\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\,dx. Vou usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=x (logo du=dx) e dv=\sin(ax)\,dx (logo v=-\dfrac{1}{a}\cos(ax)), com a=\dfrac{\pi}{6}. Assim,
\int x\sin(ax)\,dx = -\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a}\int \cos(ax)\,dx = -\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a^2}\sin(ax).
Aplicando de 0 a 6 e multiplicando por 10:
I = 10\left[-\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a^2}\sin(ax)\right]_{0}^{6}.
Avalio em x=6: \cos(a\cdot6)=\cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0. Em x=0: ambos termos são zero. Assim
I = 10\left(-\frac{6}{a}(-1) + 0\right)=10\left(\frac{6}{a}\right)=\frac{60}{a}.
Substituindo a=\dfrac{\pi}{6}:
I = \frac{60}{\pi/6} = \frac{60\cdot6}{\pi}=\frac{360}{\pi}.
Portanto
R_B = \frac{1}{6}\cdot \frac{360}{\pi} = \frac{60}{\pi}.
Pelo equilíbrio vertical:
R_A = \frac{120}{\pi}-R_B = \frac{120}{\pi}-\frac{60}{\pi}=\frac{60}{\pi}.
Observação intuitiva: a carga é simétrica em relação ao centro do vão, por isso as reações são iguais. Valores numéricos aproximados:
R_A=R_B=\frac{60}{\pi}\approx 19{,}099\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Agora obtenho o esforço cortante interno V(x). Em uma seção a uma distância x do apoio A,
V(x)=R_A - \int_{0}^{x} q(s)\,ds.
Calculo a integral:
\int_{0}^{x} q(s)\,ds = \int_{0}^{x} 10\sin\!\left(\frac{\pi s}{6}\right)\,ds =10\left[-\frac{6}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi s}{6}\right)\right]_{0}^{x} = \frac{60}{\pi}\big(1-\cos\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\big).
Portanto
V(x)=\frac{60}{\pi} - \frac{60}{\pi}\big(1-\cos\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\big) =\frac{60}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi x}{6}\right).
Verificações rápidas: em x=0 temos V(0)=\dfrac{60}{\pi}=R_A. Em x=6 temos V(6)=\dfrac{60}{\pi}\cos(\pi)=-\dfrac{60}{\pi}=-R_B (concorda com equilíbrio à esquerda do apoio B). Em x=3 (meio do vão) V(3)=\dfrac{60}{\pi}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0: mudança de sinal do cortante no centro, ponto de momento máximo.

Passo 5

O momento fletor M(x) obtém-se integrando V(x) com condição M(0)=0:
M(x)=\int_{0}^{x} V(s)\,ds = \int_{0}^{x} \frac{60}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi s}{6}\right)\,ds.
Integrando (uso \int \cos(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax)):
M(x)=\frac{60}{\pi}\cdot\frac{1}{a}\sin\!\left(a x\right)\Big|_{0}^{x} =\frac{60}{\pi a}\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right).
Com a=\dfrac{\pi}{6} obtemos:
\frac{60}{\pi a}=\frac{60}{\pi\cdot(\pi/6)}=\frac{60\cdot6}{\pi^2}=\frac{360}{\pi^2}.
Logo
M(x)=\frac{360}{\pi^2}\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right).
Verificações: M(0)=0, M(6)=0. O máximo em valor absoluto ocorre onde \sin é \pm1, dentro do intervalo isso ocorre em x=3 com \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Assim
M_{\max}=M(3)=\frac{360}{\pi^2}\approx 36{,}467\\ \mathrm{kN\cdot m},
sendo positivo (fletor de concavidade para cima — momento de viga carregada para baixo, típica curvatura positiva no meio do vão).

Passo 6

Interpretação e como desenhar os diagramas (passo a passo, para você fazer na prova):
  • DEC (esforço cortante): a expressão é
V(x)=\frac{60}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi x}{6}\right).
Isso é uma cópia de uma curva cosseno escalada. No suporte A (x=0) V=+\dfrac{60}{\pi}. O cortante decresce seguindo a curva cosseno até zerar em x=3 e passa a negativo, atingindo V(6)=-\dfrac{60}{\pi} em B. Assim o DEC é uma curva suave (não linear) que cruza o eixo V=0 no centro do vão. Pontos a marcar: V(0)=\dfrac{60}{\pi}, V(3)=0, V(6)=-\dfrac{60}{\pi}.
  • DMF (momento fletor): a expressão é
M(x)=\frac{360}{\pi^2}\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right).
É uma curva seno escalada, começando em zero em A, crescendo até máximo M(3)=\dfrac{360}{\pi^2}, e voltando a zero em B. O ponto onde V(x)=0 (a seção de máximo momento) é x=3. Pontos a marcar: M(0)=0, M(3)=\dfrac{360}{\pi^2}, M(6)=0.
Dica prática para desenhar na prova sem calculadora: desenhe o perfil do cosseno para o DEC (positivo no início, zero no meio, negativo no fim) e integre mentalmente a forma para obter o seno para o DMF (sendo que a integral de cosseno é seno, portanto formato de sino com máximo no meio).

Passo 7

Resumo dos passos operacionais que você pode replicar rápido na prova:
  1. Calcule Q=\int_0^L q(x)\,dx para \sum F_y.
  2. Calcule \int_0^L x\,q(x)\,dx para momento em A e achar R_B.
  3. Faça R_A=Q-R_B.
  4. Obtenha V(x)=R_A-\int_0^x q(s)\,ds.
  5. Obtenha M(x)=\int_0^x V(s)\,ds.
    Sempre verifique consistência nos extremos (por exemplo V(0)=R_A e V(L)=-R_B, M(0)=M(L)=0 para apoio simples).

Resposta

R_A=\dfrac{60}{\pi}\\ \mathrm{kN}\approx 19{,}099\\ \mathrm{kN}
R_B=\dfrac{60}{\pi}\\ \mathrm{kN}\approx 19{,}099\\ \mathrm{kN}
V(x)=\dfrac{60}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)\\ \mathrm{(kN)} para 0\le x\le6
M(x)=\dfrac{360}{\pi^2}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)\\ \mathrm{(kN\cdot m)} para 0\le x\le6
Momento máximo no meio do vão: M(3)=\dfrac{360}{\pi^2}\\ \mathrm{kN\cdot m}\approx 36{,}467\\ \mathrm{kN\cdot m}

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