Instruções gerais: Para cada problema abaixo, determine as reações nos apoios A e B e trace os diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF). Considere as vigas com peso próprio desprezível. Unidades: kN e m .
Uma viga simplesmente apoiada de 6 m de comprimento suporta uma carga distribuída senoidal com intensidade máxima de 10 \mathrm{kN} / \mathrm{m} no centro do vão. Dica: q(x)=10 \sin \left(\frac{\pi x}{6}\right).
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as reações nos apoios A e B e que trace (ou descreva) os diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF) para uma viga simplesmente apoiada de comprimento 6\\ \mathrm{m} sujeita à carga distribuída senoidal dada. Informações relevantes fornecidas:
q(x)=10\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\quad\text{(kN/m), com }0\le x\le6.
O comprimento do vão é 6\\ \mathrm{m}. Considerar peso próprio desprezível. As perguntas são, portanto:
Calcular as reações verticais R_A e R_B.
Determinar o esforço cortante interno V(x) para 0\le x\le6 e descrever/traçar o DEC.
Determinar o momento fletor interno M(x) para 0\le x\le6 e descrever/traçar o DMF.
Passo 2
Vou começar calculando a carga total resultante Q da distribuição q(x). A carga total é a integral de q(x) sobre o vão:
Agora calculo a integral I=\int_{0}^{6} 10x\sin\!\left(\frac{\pi x}{6}\right)\,dx. Vou usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=x (logo du=dx) e dv=\sin(ax)\,dx (logo v=-\dfrac{1}{a}\cos(ax)), com a=\dfrac{\pi}{6}. Assim,
Verificações rápidas: em x=0 temos V(0)=\dfrac{60}{\pi}=R_A. Em x=6 temos V(6)=\dfrac{60}{\pi}\cos(\pi)=-\dfrac{60}{\pi}=-R_B (concorda com equilíbrio à esquerda do apoio B). Em x=3 (meio do vão) V(3)=\dfrac{60}{\pi}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0: mudança de sinal do cortante no centro, ponto de momento máximo.
Passo 5
O momento fletor M(x) obtém-se integrando V(x) com condição M(0)=0:
Verificações: M(0)=0, M(6)=0. O máximo em valor absoluto ocorre onde \sin é \pm1, dentro do intervalo isso ocorre em x=3 com \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Assim
Isso é uma cópia de uma curva cosseno escalada. No suporte A (x=0) V=+\dfrac{60}{\pi}. O cortante decresce seguindo a curva cosseno até zerar em x=3 e passa a negativo, atingindo V(6)=-\dfrac{60}{\pi} em B. Assim o DEC é uma curva suave (não linear) que cruza o eixo V=0 no centro do vão. Pontos a marcar: V(0)=\dfrac{60}{\pi}, V(3)=0, V(6)=-\dfrac{60}{\pi}.
É uma curva seno escalada, começando em zero em A, crescendo até máximo M(3)=\dfrac{360}{\pi^2}, e voltando a zero em B. O ponto onde V(x)=0 (a seção de máximo momento) é x=3. Pontos a marcar: M(0)=0, M(3)=\dfrac{360}{\pi^2}, M(6)=0.
Dica prática para desenhar na prova sem calculadora: desenhe o perfil do cosseno para o DEC (positivo no início, zero no meio, negativo no fim) e integre mentalmente a forma para obter o seno para o DMF (sendo que a integral de cosseno é seno, portanto formato de sino com máximo no meio).
Passo 7
Resumo dos passos operacionais que você pode replicar rápido na prova:
Calcule Q=\int_0^L q(x)\,dx para \sum F_y.
Calcule \int_0^L x\,q(x)\,dx para momento em A e achar R_B.
Faça R_A=Q-R_B.
Obtenha V(x)=R_A-\int_0^x q(s)\,ds.
Obtenha M(x)=\int_0^x V(s)\,ds.
Sempre verifique consistência nos extremos (por exemplo V(0)=R_A e V(L)=-R_B, M(0)=M(L)=0 para apoio simples).
Resposta
R_A=\dfrac{60}{\pi}\\ \mathrm{kN}\approx 19{,}099\\ \mathrm{kN} R_B=\dfrac{60}{\pi}\\ \mathrm{kN}\approx 19{,}099\\ \mathrm{kN} V(x)=\dfrac{60}{\pi}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)\\ \mathrm{(kN)} para 0\le x\le6 M(x)=\dfrac{360}{\pi^2}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)\\ \mathrm{(kN\cdot m)} para 0\le x\le6
Momento máximo no meio do vão: M(3)=\dfrac{360}{\pi^2}\\ \mathrm{kN\cdot m}\approx 36{,}467\\ \mathrm{kN\cdot m}