A força líquida, FL, entre dois íons isolados é uma função da distância interatômica r de acordo com a seguinte relação:
em que
e n são constantes para o par de íons específicos. Sabendo-se que
e
, determine o valor da distância de equilíbrio
。
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado fornece a expressão da força líquida entre dois íons em função da distância interatômica
:
- Foram dadas as constantes (peguei estes valores do enunciado):
-
- O que é pedido: determinar o valor da distância de equilíbrio
(ou seja, a distância em que os íons ficam em equilíbrio).
Passo 2
Entendendo o conceito de “distância de equilíbrio” (uma mini-aula rápida e prática).
- Em mecânica, uma posição de equilíbrio estática ocorre quando a força resultante sobre o sistema é zero. Aqui isso significa:
- Então, para encontrar
basta resolver a equação
para
, procurando a solução positiva (distância).
Passo 3
Montando a equação para
e fazendo as manipulações algébricas iniciais.
- Partimos de
- Isolando termos (somando
em ambos os lados):
- Para eliminar as potências de
, multiplico ambos os lados por . Isso é válido porque (distância):
- Simplificando o expoente:
Passo 4
Isolando
explicitamente.
- A partir de
temos
- Para obter
aplicamos a potência nos dois lados:
- Isto é simplesmente a extração da raiz de ordem
. Cada símbolo significa: -
é o expoente no termo repulsivo dado pelo enunciado, -
e são constantes fornecidas, -
é a variável distância que queremos.
-
Passo 5
Substituindo os valores numéricos (passo a passo, sem pular contas).
- Primeiro calcule
:
- Agora forme a razão
:
- Como
, temos . Assim:
Passo 6
Calculando a raiz de ordem
de forma prática (usando logaritmos para obter um número aproximado que se pode fazer sem calculadora científica sofisticada).
- Use logaritmos em base 10 para transformar a potência em produto:
- Sabendo que
, obtemos
- Dividindo por
(porque tiramos a sétima raiz):
- Agora voltamos da escala logarítmica:
- Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
Passo 7
Verificação rápida (intuição e segurança).
- A ordem de grandeza faz sentido: a quantidade dentro da raiz era muito pequena (
), mas ao tirar a sétima raiz o valor sobe para algo da ordem de , ou seja cerca de . Isso indica que não houve erro grosseiro de manipulação algébrica. - Se desejado, pode-se substituir
de volta em para confirmar que o resultado torna aproximadamente zero (isto é um check numérico; não foi feito aqui em detalhe, mas é direto).