A força líquida, FL, entre dois íons isolados é uma função da distância interatômica r de acordo com a seguinte relação:
F_{L}=\frac{A}{r^{2}}-\frac{n B}{r^{n+1}}
em que \mathrm{A}, \mathrm{B} e n são constantes para o par de íons específicos. Sabendo-se que A=2,5, B=2 \times 10^{-5} e n=8, determine o valor da distância de equilíbrio \mathrm{r}_{0}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a expressão da força líquida entre dois íons em função da distância interatômica r:
F_{L}=\frac{A}{r^{2}}-\frac{n B}{r^{n+1}}
  • Foram dadas as constantes (peguei estes valores do enunciado):
    • A=2{,}5
    • B=2\times 10^{-5}
    • n=8
  • O que é pedido: determinar o valor da distância de equilíbrio r_{0} (ou seja, a distância em que os íons ficam em equilíbrio).

Passo 2

Entendendo o conceito de “distância de equilíbrio” (uma mini-aula rápida e prática).
  • Em mecânica, uma posição de equilíbrio estática ocorre quando a força resultante sobre o sistema é zero. Aqui isso significa:
\text{posição de equilíbrio} \Longleftrightarrow F_{L}=0.çãí
  • Então, para encontrar r_{0} basta resolver a equação
\frac{A}{r^{2}}-\frac{n B}{r^{n+1}}=0
para r, procurando a solução positiva (distância).

Passo 3

Montando a equação para r_{0} e fazendo as manipulações algébricas iniciais.
  • Partimos de
\frac{A}{r^{2}}-\frac{n B}{r^{n+1}}=0.
  • Isolando termos (somando \dfrac{nB}{r^{n+1}} em ambos os lados):
\frac{A}{r^{2}}=\frac{n B}{r^{n+1}}.
  • Para eliminar as potências de r, multiplico ambos os lados por r^{n+1}. Isso é válido porque r>0 (distância):
A\,r^{n+1-2}=nB.
  • Simplificando o expoente:
A\,r^{\,n-1}=nB.

Passo 4

Isolando r explicitamente.
  • A partir de
A\,r^{\,n-1}=nB,
temos
r^{\,n-1}=\frac{nB}{A}.
  • Para obter r aplicamos a potência 1/(n-1) nos dois lados:
r=\left(\frac{nB}{A}\right)^{\frac{1}{\,n-1}}.
  • Isto é simplesmente a extração da raiz de ordem n-1. Cada símbolo significa:
    • n é o expoente no termo repulsivo dado pelo enunciado,
    • B e A são constantes fornecidas,
    • r é a variável distância que queremos.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (passo a passo, sem pular contas).
  • Primeiro calcule nB:
nB = 8 \times 2\times 10^{-5} = 16\times 10^{-5} = 1{,}6\times 10^{-4}.
  • Agora forme a razão nB/A:
\frac{nB}{A}=\frac{1{,}6\times 10^{-4}}{2{,}5} = 0{,}64\times 10^{-4} = 6{,}4\times 10^{-5}.
  • Como n=8, temos n-1=7. Assim:
r_{0}=\left(6{,}4\times 10^{-5}\right)^{1/7}.

Passo 6

Calculando a raiz de ordem 7 de forma prática (usando logaritmos para obter um número aproximado que se pode fazer sem calculadora científica sofisticada).
  • Use logaritmos em base 10 para transformar a potência em produto:
\log_{10}\left(6{,}4\times 10^{-5}\right)=\log_{10}(6{,}4)-5.
  • Sabendo que \log_{10}(6{,}4)\approx 0{,}80617997, obtemos
\log_{10}\left(6{,}4\times 10^{-5}\right)\approx 0{,}80617997-5=-4{,}19382003.
  • Dividindo por 7 (porque tiramos a sétima raiz):
\frac{-4{,}19382003}{7}\approx -0{,}59911715.
  • Agora voltamos da escala logarítmica:
r_{0}=10^{-0{,}59911715}\approx 0{,}2517\ldots
  • Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
r_{0}\approx 0{,}252.

Passo 7

Verificação rápida (intuição e segurança).
  • A ordem de grandeza faz sentido: a quantidade dentro da raiz era muito pequena ( 6{,}4\times 10^{-5}), mas ao tirar a sétima raiz o valor sobe para algo da ordem de 10^{-0{,}6}, ou seja cerca de 0{,}25. Isso indica que não houve erro grosseiro de manipulação algébrica.
  • Se desejado, pode-se substituir r_{0} de volta em F_{L} para confirmar que o resultado torna F_{L} aproximadamente zero (isto é um check numérico; não foi feito aqui em detalhe, mas é direto).

Resposta

r_{0}\approx 0{,}252

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