3^{\text {a }} Questão: Uma força P é aplicada à alavanca de uma prensa mecânica. Sabendo que P está em um plano paralelo ao plano yz e que \mathrm{Mx}=2587,5 \mathrm{~N} . \mathrm{cm}, \mathrm{My}=-2250 \mathrm{~N} . \mathrm{cm} e \mathrm{Mz}=-393,75 \mathrm{~N} . \mathrm{cm}, determine: (4,0)
a) (\mathbf{1 , 0}) \mathbf{A} intensidade de \mathbf{P};
b) (1,0) O valor de \varphi, sabendo-se que 0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ};
c) (2,0) O valor de \theta, sabendo-se que 0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}.
Passo 1
O enunciado nos dá os momentos (torques) em torno dos eixos e a informação sobre a direção de P. Vou listar com clareza o que foi dado e o que se pede.
Dados fornecidos no enunciado:
M_x = 2587,5\\ \text{N}\cdot\text{cm}
M_y = -2250\\ \text{N}\cdot\text{cm}
M_z = -393,75\\ \text{N}\cdot\text{cm}
A força P está em um plano paralelo ao plano yz. (Isto implica que a componente P_x é zero.)
Perguntas:
(a) A intensidade de P (ou seja |P|);
(b) O valor de \varphi, com 0^\circ \le \varphi \le 90^\circ;
(c) O valor de \theta, com 0^\circ \le \theta \le 90^\circ.
Dados extraídos da imagem (peguei estes valores da figura):
Distância entre o eixo vertical e a linha de ação do instante (braço em x): 12,5\\ \text{cm}. Vou usar esse valor como r_x = 12,5\\ \text{cm}.
Comprimento do braço (distância do pivô até o ponto de aplicação ao longo da alavanca): 22,5\\ \text{cm}. Vou usar esse valor como r = 22,5\\ \text{cm}.
Observação sobre origem/coord.: vou tomar a origem no pivô/centro de rotação mostrado na figura (ponto onde a alavanca gira). O vetor posição do ponto de aplicação será \mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z) medido a partir desse pivô. A força P tem coordenadas \mathbf{P}=(0,P_y,P_z) porque está em um plano paralelo a yz.
Passo 2
Relembrando a relação fundamental: o momento (vetor) \mathbf{M} produzido pela força \mathbf{P} em relação à origem é
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{P}.
Isso é um produto vetorial: se \mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z) e \mathbf{P}=(P_x,P_y,P_z), então as componentes são
Estas fórmulas são muito úteis: as duas últimas expressam diretamente P_y e P_z em função de M_z, M_y e r_x.
(Explicação didática curta: M_y e M_z correspondem a momentos criados pelas componentes P_z e P_y com braço perpendicular r_x. É uma consequência direta do produto vetorial.)]
Passo 3
Determinar P_y e P_z a partir de M_y e M_z e do braço r_x.
Das fórmulas do passo anterior temos
P_y=\frac{M_z}{r_x},\qquad P_z=-\frac{M_y}{r_x}.
Vou usar as unidades coerentes: momentos em \text{N}\cdot\text{cm} e distâncias em \text{cm} permitem obter P em N. Substituindo os valores (peguei r_x=12,5\\ \text{cm} da imagem):
Determinar \varphi (ângulo entre P e a direção vertical mostrada na figura).
Pela figura, \varphi é o ângulo entre a direção da força P e a direção vertical (pense no “desvio” da força em relação à vertical). Como P aponta para baixo (componente P_y<0), o ângulo medido entre P e o eixo vertical para baixo tem fórmula prática
(Explicação: na projeção no plano yz, |P_y| é a componente vertical e |P_z| a componente horizontal; o arco-tangente dá o ângulo entre a força e a vertical.)
Observação sobre sinal: se usássemos \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{P_y}{P}\right) obteríamos um ângulo maior que 90^\circ porque P_y é negativo; por isso usamos a definição de \varphi como o ângulo entre a força e a direção vertical para baixo (o problema pede 0^\circ\le\varphi\le90^\circ).
Passo 6
Determinar \theta.
Pelo desenho, a alavanca tem comprimento r=22,5\\ \text{cm} (peguei da imagem) e o ponto de aplicação está sobre essa alavanca. Se \theta for o ângulo que a alavanca (a linha do braço até o ponto de aplicação) forma com a horizontal do plano da figura, então as componentes da posição relativa ao pivô são
r_y = r\cos\theta,\qquad r_z = r\sin\theta.
(Explicação: separando a distância ao longo da alavanca em vertical e em direção z.)
(Fazendo uma verificação rápida: substituindo \theta\approx60,9^\circ na expressão original dá o M_x correto dentro dos arredondamentos, então a solução é consistente.)
Resposta
P \approx 182,8\\ \text{N} \varphi \approx 80,1^\circ \theta \approx 60,9^\circ