3^{\text {a }} Questão: Uma força P é aplicada à alavanca de uma prensa mecânica. Sabendo que P está em um plano paralelo ao plano yz e que \mathrm{Mx}=2587,5 \mathrm{~N} . \mathrm{cm}, \mathrm{My}=-2250 \mathrm{~N} . \mathrm{cm} e \mathrm{Mz}=-393,75 \mathrm{~N} . \mathrm{cm}, determine: (4,0)
a) (\mathbf{1 , 0}) \mathbf{A} intensidade de \mathbf{P};
b) (1,0) O valor de \varphi, sabendo-se que 0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ};
c) (2,0) O valor de \theta, sabendo-se que 0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá os momentos (torques) em torno dos eixos e a informação sobre a direção de P. Vou listar com clareza o que foi dado e o que se pede.
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • M_x = 2587,5\\ \text{N}\cdot\text{cm}
    • M_y = -2250\\ \text{N}\cdot\text{cm}
    • M_z = -393,75\\ \text{N}\cdot\text{cm}
    • A força P está em um plano paralelo ao plano yz. (Isto implica que a componente P_x é zero.)
  • Perguntas:
    • (a) A intensidade de P (ou seja |P|);
    • (b) O valor de \varphi, com 0^\circ \le \varphi \le 90^\circ;
    • (c) O valor de \theta, com 0^\circ \le \theta \le 90^\circ.
  • Dados extraídos da imagem (peguei estes valores da figura):
    • Distância entre o eixo vertical e a linha de ação do instante (braço em x): 12,5\\ \text{cm}. Vou usar esse valor como r_x = 12,5\\ \text{cm}.
    • Comprimento do braço (distância do pivô até o ponto de aplicação ao longo da alavanca): 22,5\\ \text{cm}. Vou usar esse valor como r = 22,5\\ \text{cm}.
  • Observação sobre origem/coord.: vou tomar a origem no pivô/centro de rotação mostrado na figura (ponto onde a alavanca gira). O vetor posição do ponto de aplicação será \mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z) medido a partir desse pivô. A força P tem coordenadas \mathbf{P}=(0,P_y,P_z) porque está em um plano paralelo a yz.

Passo 2

Relembrando a relação fundamental: o momento (vetor) \mathbf{M} produzido pela força \mathbf{P} em relação à origem é
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{P}.
Isso é um produto vetorial: se \mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z) e \mathbf{P}=(P_x,P_y,P_z), então as componentes são
\begin{aligned} M_x &= r_y P_z - r_z P_y,\\[4pt] M_y &= r_z P_x - r_x P_z,\\[4pt] M_z &= r_x P_y - r_y P_x. \end{aligned}
Agora usamos duas informações importantes:
  • \mathbf{P} está em um plano paralelo a yz \Rightarrow P_x=0.
  • Os valores de M_x,M_y,M_z são conhecidos (listados no Passo 1).
Substituindo P_x=0 nas fórmulas obtemos
\begin{aligned} M_x &= r_y P_z - r_z P_y,\\[4pt] M_y &= -\,r_x P_z,\\[4pt] M_z &= r_x P_y. \end{aligned}
Estas fórmulas são muito úteis: as duas últimas expressam diretamente P_y e P_z em função de M_z, M_y e r_x.
(Explicação didática curta: M_y e M_z correspondem a momentos criados pelas componentes P_z e P_y com braço perpendicular r_x. É uma consequência direta do produto vetorial.)]

Passo 3

Determinar P_y e P_z a partir de M_y e M_z e do braço r_x.
Das fórmulas do passo anterior temos
P_y=\frac{M_z}{r_x},\qquad P_z=-\frac{M_y}{r_x}.
Vou usar as unidades coerentes: momentos em \text{N}\cdot\text{cm} e distâncias em \text{cm} permitem obter P em N. Substituindo os valores (peguei r_x=12,5\\ \text{cm} da imagem):
\begin{aligned} P_y &= \frac{M_z}{r_x}=\frac{-393,75}{12,5} = -31,5\\ \text{N},\\[4pt] P_z &= -\frac{M_y}{r_x}=-\frac{-2250}{12,5}=+\;180\\ \text{N}. \end{aligned}
Interpretação: a componente P_y é negativa (a força aponta sentido negativo do eixo y, ou seja para baixo), e P_z é positiva.]

Passo 4

Calcular a intensidade (magnitude) de \mathbf{P}.
Como \mathbf{P}=(0,P_y,P_z), a magnitude é
P=\sqrt{P_y^{2}+P_z^{2}}.
Substituindo os valores:
P=\sqrt{(-31,5)^{2}+(180)^{2}} =\sqrt{992,25+32400} =\sqrt{33392,25}\approx 182,8\\ \text{N}.

Passo 5

Determinar \varphi (ângulo entre P e a direção vertical mostrada na figura).
Pela figura, \varphi é o ângulo entre a direção da força P e a direção vertical (pense no “desvio” da força em relação à vertical). Como P aponta para baixo (componente P_y<0), o ângulo medido entre P e o eixo vertical para baixo tem fórmula prática
\varphi=\arctan\!\left(\frac{|P_z|}{|P_y|}\right).
(Explicação: na projeção no plano yz, |P_y| é a componente vertical e |P_z| a componente horizontal; o arco-tangente dá o ângulo entre a força e a vertical.)
Substituindo:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{180}{31,5}\right)=\arctan(5,7142857\ldots)\approx80,1^\circ.
Observação sobre sinal: se usássemos \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{P_y}{P}\right) obteríamos um ângulo maior que 90^\circ porque P_y é negativo; por isso usamos a definição de \varphi como o ângulo entre a força e a direção vertical para baixo (o problema pede 0^\circ\le\varphi\le90^\circ).

Passo 6

Determinar \theta.
Pelo desenho, a alavanca tem comprimento r=22,5\\ \text{cm} (peguei da imagem) e o ponto de aplicação está sobre essa alavanca. Se \theta for o ângulo que a alavanca (a linha do braço até o ponto de aplicação) forma com a horizontal do plano da figura, então as componentes da posição relativa ao pivô são
r_y = r\cos\theta,\qquad r_z = r\sin\theta.
(Explicação: separando a distância ao longo da alavanca em vertical e em direção z.)
Usando a expressão para M_x:
M_x = r_y P_z - r_z P_y = r\big(\cos\theta\,P_z - \sin\theta\,P_y\big).
Substituindo P_y, P_z obtidos e r=22,5\\ \text{cm}:
M_x = 22,5\big(\cos\theta\cdot P_z - \sin\theta\cdot P_y\big).
Agora isolamos a expressão em \theta. Substituindo P_z=180\\ \text{N}, P_y=-31,5\\ \text{N} e M_x=2587,5\\ \text{N}\cdot\text{cm}:
2587,5 = 22,5\big(\cos\theta\cdot 180 - \sin\theta\cdot(-31,5)\big).
Simplificando (tudo em unidades compatíveis \text{N}\cdot\text{cm} / \text{cm} → N):
2587,5 = 22,5\big(180\cos\theta + 31,5\sin\theta\big).
Dividindo por 22,5:
\underbrace{2250}_{A}\cos\theta + \underbrace{393,75}_{B}\sin\theta = 1437,5.
Temos uma equação do tipo A\cos\theta + B\sin\theta = C. Uma maneira prática de resolver é usar a identidade
A\cos\theta + B\sin\theta = R\cos(\theta-\alpha),
onde
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \cos\alpha=\frac{A}{R},\quad \sin\alpha=\frac{B}{R}.
Calculemos os números:
R=\sqrt{2250^{2}+393,75^{2}}\approx 2284,19,
\alpha=\arctan\!\left(\frac{B}{A}\right)=\arctan\!\left(\frac{393,75}{2250}\right)\approx 9,93^\circ.
A equação fica
R\cos(\theta-\alpha)=1437,5 \quad\Rightarrow\quad \cos(\theta-\alpha)=\frac{1437,5}{R}\approx 0,6293.
Extraindo o arco cosseno (escolhendo a solução que dá \theta entre 0^\circ e 90^\circ):
\theta-\alpha \approx \operatorname{arccos}(0,6293)\approx 51,0^\circ.
Logo
\theta \approx 51,0^\circ + 9,93^\circ \approx 60,9^\circ.
(Fazendo uma verificação rápida: substituindo \theta\approx60,9^\circ na expressão original dá o M_x correto dentro dos arredondamentos, então a solução é consistente.)

Resposta

P \approx 182,8\\ \text{N}
\varphi \approx 80,1^\circ
\theta \approx 60,9^\circ

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