Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condição inicial (peguei tudo do enunciado):
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Observação sobre a forma da equação e a ideia que vamos usar:
A equação tem o lado direito escrito como produto de uma função de (que é
) por uma função de
(que é
). Isso permite separar as variáveis
e
— ou seja, escrever todos os termos com
de um lado e os com
do outro. Separar variáveis facilita porque aí integramos cada lado em relação à sua variável.
A equação tem o lado direito escrito como produto de uma função de
Antes de separar, faço uma pequena manipulação algébrica: dividir ambos os lados por
(isso exige
no processo; a condição inicial
garante que, na solução que buscamos,
não é zero em
, então a divisão é válida localmente).
Passo 3
Separo as variáveis explicitamente:
Agora escrevo em forma de diferenciais:
Isto significa que os termos em
ficaram do lado esquerdo e os termos em
ficaram do lado direito — prontos para integrar.
Passo 4
Integro ambos os lados:
Calculo as primitivas:
- A primitiva de
em é . - A primitiva de
em é .
Portanto obtemos
onde
é a constante de integração (um número real qualquer).
Passo 5
Resolvo para
. Exponenciando ambos os lados:
Chamando
e lembrando que o sinal absoluto permite ainda multiplicar por
, podemos escrever a solução geral como
onde
é uma constante real (pode ser zero ou qualquer número real). Observação: embora na separação fosse exigido
, a forma final com
inclui também a solução identicamente zero se
.
Passo 6
Aplico a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Logo
e a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): calculo
a partir de
:
que coincide com a equação dada. A condição inicial também é satisfeita:
.