Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
frac{d y}{d t}=-2 t y, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condição inicial (peguei tudo do enunciado):
  • Equação diferencial: \displaystyle \frac{dy}{dt} = -2t\,y.
  • Condição inicial: \displaystyle y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Observação sobre a forma da equação e a ideia que vamos usar:
A equação tem o lado direito escrito como produto de uma função de t (que é -2t) por uma função de y (que é y). Isso permite separar as variáveis y e t — ou seja, escrever todos os termos com y de um lado e os com t do outro. Separar variáveis facilita porque aí integramos cada lado em relação à sua variável.
Antes de separar, faço uma pequena manipulação algébrica: dividir ambos os lados por y (isso exige y\neq0 no processo; a condição inicial y(0)=1 garante que, na solução que buscamos, y não é zero em t=0, então a divisão é válida localmente).

Passo 3

Separo as variáveis explicitamente:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt} = -2t.
Agora escrevo em forma de diferenciais:
\frac{1}{y}\,dy = -2t\,dt.
Isto significa que os termos em y ficaram do lado esquerdo e os termos em t ficaram do lado direito — prontos para integrar.

Passo 4

Integro ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -2t\,dt.
Calculo as primitivas:
  • A primitiva de \dfrac{1}{y} em y é \ln|y|.
  • A primitiva de -2t em t é -t^{2}.
    Portanto obtemos
\ln|y| = -t^{2} + C,
onde C é a constante de integração (um número real qualquer).

Passo 5

Resolvo para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{-t^{2}+C} = e^{C}e^{-t^{2}}.
Chamando A=e^{C}>0 e lembrando que o sinal absoluto permite ainda multiplicar por \pm1, podemos escrever a solução geral como
y(t) = C_{1} e^{-t^{2}},
onde C_{1} é uma constante real (pode ser zero ou qualquer número real). Observação: embora na separação fosse exigido y\neq0, a forma final com C_{1} inclui também a solução identicamente zero se C_{1}=0.

Passo 6

Aplico a condição inicial \displaystyle y(0)=1. Substituindo t=0 na solução geral:
y(0)=C_{1}e^{0}=C_{1}=1.
Logo C_{1}=1 e a solução que satisfaz a condição inicial é
y(t)=e^{-t^{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calculo \dfrac{dy}{dt} a partir de y(t)=e^{-t^{2}}:
\frac{dy}{dt} = e^{-t^{2}}\cdot(-2t) = -2t\,y(t),
que coincide com a equação dada. A condição inicial também é satisfeita: y(0)=e^{0}=1.

Resposta

\displaystyle y(t)=e^{-t^{2}}

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