A força \mathbf{F} de intensidade 450 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas a-a e b-b. Usando trigonometria, determine o ângulo a sabendo que o componente \mathbf{F} ao longo de a-a é 315 N .

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A força \mathbf{F} tem intensidade \,450\\ \mathrm{N}.
    • O componente da força ao longo da reta a\!-\!a vale 315\\ \mathrm{N}.
    • Na figura há duas retas que se cruzam: a\!-\!a e b\!-\!b, e entre elas existe um ângulo de 50^\circ (extraído da imagem).
    • O ângulo \alpha é o ângulo entre a direção da força \mathbf{F} e a reta b\!-\!b (conforme indicado na figura).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor do ângulo \alpha sabendo os dados acima.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): projeção de um vetor numa direção.
  • Se um vetor de módulo F forma um ângulo \theta com uma certa direção, a componente (projeção) do vetor nessa direção é dada por
\text{componente} = F\cos\theta.
  • Aqui F é o módulo do vetor (número positivo), \theta é o ângulo entre o vetor e a direção escolhida, e \cos\theta é a função cosseno que mede a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa num triângulo retângulo — em projeção, ela reduz o módulo do vetor ao quanto “aponta” na direção desejada.
  • Exemplo simples para fixar: se um vetor de 10 forma \theta=0^\circ com a direção, então a componente é 10\cos0^\circ=10\cdot1=10 (vetor totalmente na direção). Se \theta=90^\circ, então 10\cos90^\circ=0 (nenhuma componente nessa direção).

Passo 3

Relacionar os ângulos da figura com o \theta da projeção.
  • Precisamos da componente ao longo de a\!-\!a. Pelo conceito acima, essa componente vale
315 = 450\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{F} e a reta a\!-\!a.
  • Pela geometria da figura: a reta a\!-\!a e a reta b\!-\!b formam entre si um ângulo de 50^\circ, e \alpha é o ângulo entre \mathbf{F} e b\!-\!b. Observando a posição relativa (ambos os ângulos estão no mesmo lado do cruzamento), o ângulo entre \mathbf{F} e a\!-\!a é a diferença entre 50^\circ e \alpha. Logo:
\theta = 50^\circ - \alpha.
(Esse passo é só geometria de ângulos: se uma linha está girada 50^\circ em relação à outra, o ângulo entre um vetor e a segunda linha difere do ângulo entre o vetor e a primeira por 50^\circ.)

Passo 4

Escrever a equação numérica e isolá-la.
  • Substituindo \theta em \,315 = 450\cos\theta:
315 = 450\cos(50^\circ - \alpha).
  • Divide ambos os lados por 450:
\cos(50^\circ - \alpha)=\frac{315}{450}.
  • Calcular a razão:
\frac{315}{450}=0{,}7.
Portanto
\cos(50^\circ - \alpha)=0{,}7.

Passo 5

Resolver para \alpha usando a função arco-cosseno.
  • Aplicando arco-cosseno em ambos os lados:
50^\circ - \alpha = \operatorname{arccos}(0{,}7).
  • Valor numérico (em graus):
\operatorname{arccos}(0{,}7)\approx 45{,}5729^\circ.
  • Isolando \alpha:
\alpha = 50^\circ - 45{,}5729^\circ \approx 4{,}4271^\circ.
  • Arredondando sensatamente (duas casas decimais):
\alpha \approx 4{,}43^\circ.

Passo 6

Interpretação curta e dica para prova.
  • O ângulo \alpha ficou bem pequeno porque a componente ao longo de a\!-\!a ( 315\\ \mathrm{N}) é relativamente grande em relação à força total ( 450\\ \mathrm{N}); isso só acontece se a força estiver quase alinhada com a\!-\!a.
  • Na prova: sempre identifique claramente qual é o ângulo entre o vetor e a direção de projeção; muitas confusões vêm daqui. Use a relação componente =F\cos(\text{ângulo entre vetor e direção})âçã.

Resposta

\alpha \approx 4{,}43^\circ

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