A força
de intensidade 450 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas
e
. Usando trigonometria, determine o ângulo
sabendo que o componente
ao longo de
é 315 N .
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- A força
tem intensidade . - O componente da força ao longo da reta
vale . - Na figura há duas retas que se cruzam:
e , e entre elas existe um ângulo de (extraído da imagem). - O ângulo
é o ângulo entre a direção da força e a reta (conforme indicado na figura).
- A força
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor do ângulo
sabendo os dados acima.
- Determinar o valor do ângulo
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): projeção de um vetor numa direção.
- Se um vetor de módulo
forma um ângulo com uma certa direção, a componente (projeção) do vetor nessa direção é dada por
- Aqui
é o módulo do vetor (número positivo), é o ângulo entre o vetor e a direção escolhida, e é a função cosseno que mede a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa num triângulo retângulo — em projeção, ela reduz o módulo do vetor ao quanto “aponta” na direção desejada. - Exemplo simples para fixar: se um vetor de
forma com a direção, então a componente é (vetor totalmente na direção). Se , então (nenhuma componente nessa direção).
Passo 3
Relacionar os ângulos da figura com o
da projeção.
- Precisamos da componente ao longo de
. Pelo conceito acima, essa componente vale
onde
é o ângulo entre
e a reta
.
- Pela geometria da figura: a reta
e a reta formam entre si um ângulo de , e é o ângulo entre e . Observando a posição relativa (ambos os ângulos estão no mesmo lado do cruzamento), o ângulo entre e é a diferença entre e . Logo:
(Esse passo é só geometria de ângulos: se uma linha está girada
em relação à outra, o ângulo entre um vetor e a segunda linha difere do ângulo entre o vetor e a primeira por
.)
Passo 4
Escrever a equação numérica e isolá-la.
- Substituindo
em :
- Divide ambos os lados por
:
- Calcular a razão:
Portanto
Passo 5
Resolver para
usando a função arco-cosseno.
- Aplicando arco-cosseno em ambos os lados:
- Valor numérico (em graus):
- Isolando
:
- Arredondando sensatamente (duas casas decimais):
Passo 6
Interpretação curta e dica para prova.
- O ângulo
ficou bem pequeno porque a componente ao longo de ( ) é relativamente grande em relação à força total ( ); isso só acontece se a força estiver quase alinhada com . - Na prova: sempre identifique claramente qual é o ângulo entre o vetor e a direção de projeção; muitas confusões vêm daqui. Use a relação componente
.