A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
em que
está em centímetros e
está em segundos.
A) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes
e
?
B) Qual é a velocidade instantânea da partícula nos instantes
?
C) Qual é a aceleração média da partícula entre os instantes
e
?
D) Qual é a aceleração instantânea da partícula nos instantes
e
?
A) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes
B) Qual é a velocidade instantânea da partícula nos instantes
C) Qual é a aceleração média da partícula entre os instantes
D) Qual é a aceleração instantânea da partícula nos instantes
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo
como
onde
está em centímetros e
em segundos. As perguntas são:
A) Qual a velocidade média entre e
?
B) Qual a velocidade instantânea nos instantes e
?
C) Qual a aceleração média entre e
?
D) Qual a aceleração instantânea nos instantes e
?
A) Qual a velocidade média entre
B) Qual a velocidade instantânea nos instantes
C) Qual a aceleração média entre
D) Qual a aceleração instantânea nos instantes
Passo 2
Velocidade média: definição e cálculo direto.
- A velocidade média entre dois instantes
e é a variação da posição sobre a variação do tempo:
- Vamos calcular
e (pegando a função do enunciado).
- Então a velocidade média entre
e é
Passo 3
Velocidade instantânea: derivada e cálculo nos instantes pedidos.
- Conceito: velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo:
- Regra que usamos (cadeia): se
então
Aqui
e
.
- Calculemos
:
Simplificando
, obtemos
- Agora os valores pedidos:
- Observação rápida: usei
e .
Passo 4
Aceleração média: definição e cálculo com as velocidades encontradas.
- A aceleração média entre
e é
- Usando
e (em ):
- Valor numérico aproximado:
Passo 5
Aceleração instantânea: derivada da velocidade (segunda derivada de
).
- Conceito: aceleração instantânea
é . - Como
, usando a regra da cadeia (derivada de é ):
- Simplificando os fatores
, obtemos
- Agora os valores pedidos:
- Interpretação curta: sinais negativos indicam aceleração no sentido negativo do eixo
naquele instante; módulo dado pelas magnitudes acima.
Passo 6
Resumo e dica de prova rápida:
- Para movimentos harmônicos como este, decorre-se uma vez para obter velocidade e duas vezes para obter aceleração; atenção ao fator
da função (cadeia). - Guarde as identidades trigonométricas básicas (
) para fazer cálculos sem calculadora. - Vai dar certo — já tem todas as fórmulas e valores necessários para responder cada item rapidamente na prova!
Resposta
A)
B)
C)
D)
B)
C)
D)