A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por
y(t)=(2,0 \mathrm{~cm}) \cdot \sin \left(\frac{\pi t}{4}\right)
em que y está em centímetros e t está em segundos.
A) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes t=0 e t=2,0 \mathrm{~s} ?
B) Qual é a velocidade instantânea da partícula nos instantes t=0, t=1,0 \mathrm{se} t=2,0 \mathrm{~s} ?
C) Qual é a aceleração média da partícula entre os instantes t=0 e t=2,0 \mathrm{~s} ?
D) Qual é a aceleração instantânea da partícula nos instantes t=0, t=1,0 \mathrm{~s} e t=2,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo y como
y(t)=(2,0\\ \text{cm})\cdot\sin\!\left(\frac{\pi t}{4}\right),
onde y está em centímetros e t em segundos. As perguntas são:
A) Qual a velocidade média entre t=0 e t=2,0\\ \text{s}?
B) Qual a velocidade instantânea nos instantes t=0,\\ t=1,0\\ \text{s} e t=2,0\\ \text{s}?
C) Qual a aceleração média entre t=0 e t=2,0\\ \text{s}?
D) Qual a aceleração instantânea nos instantes t=0,\\ t=1,0\\ \text{s} e t=2,0\\ \text{s}?

Passo 2

Velocidade média: definição e cálculo direto.
  • A velocidade média entre dois instantes t_1 e t_2 é a variação da posição sobre a variação do tempo:
\bar v=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_1}.
  • Vamos calcular y(0) e y(2,0) (pegando a função do enunciado).
y(0)=(2,0)\sin\!\left(\frac{\pi\cdot 0}{4}\right)=(2,0)\sin 0=0\\ \text{cm}.
y(2,0)=(2,0)\sin\!\left(\frac{\pi\cdot 2}{4}\right)=(2,0)\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=(2,0)\cdot 1=2,0\\ \text{cm}.
  • Então a velocidade média entre 0 e 2{,}0\\ \text{s} é
\bar v=\frac{2,0-0}{2,0-0}=\frac{2,0}{2,0}=1,0\\ \text{cm/s}.

Passo 3

Velocidade instantânea: derivada e cálculo nos instantes pedidos.
  • Conceito: velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dy}{dt}.
  • Regra que usamos (cadeia): se y(t)=A\sin(k t) então
\frac{d}{dt}\big[A\sin(k t)\big]=A\cdot k\cdot\cos(k t).
Aqui A=2,0\\ \text{cm} e k=\dfrac{\pi}{4}.
  • Calculemos v(t):
v(t)=(2,0)\cdot\frac{\pi}{4}\cdot\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right).
Simplificando 2,0\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, obtemos
v(t)=\frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\\ \text{cm/s}.
  • Agora os valores pedidos:
v(0)=\frac{\pi}{2}\cos 0=\frac{\pi}{2}\\ \text{cm/s}\approx 1,571\\ \text{cm/s}.
v(1,0)=\frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}\\ \text{cm/s}\approx 1,111\\ \text{cm/s}.
v(2,0)=\frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot 0=0\\ \text{cm/s}.
  • Observação rápida: usei \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos(\pi/2)=0.

Passo 4

Aceleração média: definição e cálculo com as velocidades encontradas.
  • A aceleração média entre t_1 e t_2 é
\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.
  • Usando v(0)=\dfrac{\pi}{2} e v(2,0)=0 (em \text{cm/s}):
\bar a=\frac{0-\dfrac{\pi}{2}}{2,0-0}=-\frac{\pi}{4}\\ \text{cm/s}^2.
  • Valor numérico aproximado:
\bar a\approx -0,785\\ \text{cm/s}^2.

Passo 5

Aceleração instantânea: derivada da velocidade (segunda derivada de y).
  • Conceito: aceleração instantânea a(t) é a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2y}{dt^2}.
  • Como v(t)=\dfrac{\pi}{2}\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{4}\right), usando a regra da cadeia (derivada de \cos é -\sin):
a(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\right] =\frac{\pi}{2}\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\right)\cdot\frac{\pi}{4}.
  • Simplificando os fatores \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi^2}{8}, obtemos
a(t)=-\frac{\pi^2}{8}\sin\!\left(\frac{\pi t}{4}\right)\\ \text{cm/s}^2.
  • Agora os valores pedidos:
a(0)=-\frac{\pi^2}{8}\sin 0=0\\ \text{cm/s}^2.
a(1,0)=-\frac{\pi^2}{8}\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\pi^2}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\pi^2\sqrt{2}}{16}\\ \text{cm/s}^2\approx -0,872\\ \text{cm/s}^2.
a(2,0)=-\frac{\pi^2}{8}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi^2}{8}\\ \text{cm/s}^2\approx -1,234\\ \text{cm/s}^2.
  • Interpretação curta: sinais negativos indicam aceleração no sentido negativo do eixo y naquele instante; módulo dado pelas magnitudes acima.

Passo 6

Resumo e dica de prova rápida:
  • Para movimentos harmônicos como este, decorre-se uma vez para obter velocidade e duas vezes para obter aceleração; atenção ao fator k da função \sin(k t) (cadeia).
  • Guarde as identidades trigonométricas básicas ( \sin 0, \sin(\pi/2), \cos 0, \cos(\pi/4)) para fazer cálculos sem calculadora.
  • Vai dar certo — já tem todas as fórmulas e valores necessários para responder cada item rapidamente na prova!

Resposta

A) \bar v=\;1,0\\ \text{cm/s}
B) v(0)=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{cm/s}\approx 1,571\\ \text{cm/s}
v(1,0)=\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}\\ \text{cm/s}\approx 1,111\\ \text{cm/s}
v(2,0)=0\\ \text{cm/s}
C) \bar a=-\dfrac{\pi}{4}\\ \text{cm/s}^2\approx -0,785\\ \text{cm/s}^2
D) a(0)=0\\ \text{cm/s}^2
a(1,0)=-\dfrac{\pi^2\sqrt{2}}{16}\\ \text{cm/s}^2\approx -0,872\\ \text{cm/s}^2
a(2,0)=-\dfrac{\pi^2}{8}\\ \text{cm/s}^2\approx -1,234\\ \text{cm/s}^2

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