(Valor 2.5) Considere um circuito RL ligado em série. O que acontece quando ligamos
e L em serie com um gerador de onda quadrada? O resultado obtido depende da frequência? O que acontece quando ligamos R e L em série com um gerador de ondas senoidal? Faça um desenho esquemático da dependência de Vr e VL com a frequência.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados implícitos que vamos usar.
-
Perguntas do enunciado:
- O que acontece quando ligamos
e em série com um gerador de onda quadrada? - O resultado obtido depende da frequência?
- O que acontece quando ligamos
e em série com um gerador de onda senoidal? - Fazer um desenho esquemático da dependência de
e com a frequência.
- O que acontece quando ligamos
-
Dados/hipóteses que vamos assumir (o enunciado não fornece valores numéricos):
- Circuito: resistência
e indutor em série ligados a um gerador de tensão. - O gerador pode ser uma onda quadrada de amplitude pico
(ou ) ou uma senoide de amplitude . - Tempo de resposta do circuito é governado pela constante de tempo
dada por . - Para analisar a resposta senoidal vamos usar análise fasorial/impedância: impedância do indutor
, com .
- Circuito: resistência
Passo 2
Conceito essencial: resposta ao degrau e constante de tempo. Isso é importante porque uma onda quadrada é uma sequência de degraus e a inércia do indutor determina se a corrente tem tempo para variar entre os níveis.
- Quando um degrau de tensão
é aplicado num circuito série (partindo de corrente inicial ): onde é a constante de tempo e é a corrente de regime DC final (após tempo longo). - Interpretação física simples: o indutor resiste a mudanças rápidas de corrente; a corrente muda exponencialmente com tempo característico
. Se o tempo disponível ( num meio ciclo de uma quadrada) for muito maior que , a corrente chega perto de ; se , a corrente mal muda durante o intervalo.
Passo 3
Aplicando isso à onda quadrada (visão no tempo, transientes):
- Considere uma onda quadrada alternando entre
e com período (frequência ). Em cada borda (subida/descida) o circuito vê um degrau de tensão. - Caso de baixa frequência (
): - Em cada semi-período a corrente tem tempo de andar até o valor de regime
. - O indutor, após o estabelecimento, tem corrente praticamente constante durante quase todo o semi-período e, portanto, a tensão em
é quase zero (exceto nas bordas/transientes). A maior parte da tensão instantânea está em : durante o nível constante. - Resumindo: para baixo
a saída em é quase a própria quadrada e aparece apenas como curtos pulsos nas transições.
- Em cada semi-período a corrente tem tempo de andar até o valor de regime
- Caso de alta frequência (
ou grande): - A corrente não tem tempo para alcançar
. As variações de corrente são lentas e pequenas, então o indutor “carrega” a maior parte da tensão. - Resultado prático:
fica pequena (pois pequena) e é grande, a forma de tensão sobre o resistor fica suavizada (pode até ficar quase senoidal com curta amplitude se muitos harmônicos forem atenuados).
- A corrente não tem tempo para alcançar
- Conclusão imediata: sim, o resultado com onda quadrada depende fortemente da frequência relativa a
.
Passo 4
Visão por séries de Fourier (por que isso ajuda a entender a dependência em frequência):
- Uma onda quadrada (pico
) pode ser escrita como soma de harmônicos senoidais (somente ímpares): onde é a frequência fundamental. - Cada harmônico de ordem
tem frequência . O circuito RL trata cada harmônico como uma senoide aplicada ao circuito série — cada harmônico é atenuado segundo a impedância do indutor nessa frequência.
Passo 5
Resposta em frequência de cada harmônico (análise fasorial para cada componente senoidal):
- Impedância total do circuito:
. - Para um componente senoidal de amplitude de tensão
(pico), a corrente harmônica resultante tem amplitude - A amplitude da tensão no resistor para esse harmônico é
e no indutor - Para harmônicos de alta ordem (
grande), o denominador cresce e cada fica pequeno: harmônicos de alta frequência são fortemente atenuados. Isso explica, do ponto de vista da série de Fourier, porque uma quadrada “perde suas pontas” e fica suavizada quando é significativo: o indutor atua como um filtro passa-baixas para a corrente.
Passo 6
Agora a análise para excitação senoidal pura (regime estacionário senoidal), que é mais simples e padrão:
- Seja uma tensão senoidal
aplicada ao série . - Impedância do indutor:
. Impedância total: . - Corrente (fasor)
. Em amplitude (pico): - Amplitudes das tensões:
- Fase: a corrente está atrasada em relação à tensão aplicada por um ângulo
dado por isto é, para alta o circuito é mais indutivo e o atraso é maior.
Passo 7
Comportamentos limites e frequência característica:
- Limite de baixa frequência (
, ou ): Interpretação: o indutor se comporta como curto para componentes DC/lentas, então a maior parte da tensão aparece no resistor. - Limite de alta frequência (
, ou ): Interpretação: o indutor apresenta alta reatância e a maior parte da tensão recai sobre ele; a corrente torna-se pequena. - A frequência em que
(módulos iguais) ocorre quando , ou seja Nesse ponto
Passo 8
Fórmulas úteis em termos de frequência
(substituindo
) e normalizando por
para desenhar curvas:
- Normalização:
- Essas expressões deixam claro que
decresce com (de 1 até 0) e cresce com (de 0 até 1), cruzando em .
Passo 9
Desenho esquemático da dependência de
e
com a frequência (esboço ASCII normalizado por
). Eixo horizontal: frequência
(baixa
alta). Eixo vertical: magnitude normalizada
de
a
.
-
Legenda: curva “R” =
, curva “L” = . Marca a frequência de cruzamento . f (log scale) ----->1.0 |R\ * *\L
0.9 | * *
0.7 | \ * *
0.5 | \ * <-- cross @ f_c
0.3 | \ * *
0.1 | \ * *
0.0 |-----------------------------------
low f high f
(V_R ≈1, V_L≈0) (V_R≈0, V_L≈1) -
Interpretação do esboço:
- À esquerda (baixa
): , . - À direita (alta
): , . - As curvas são suaves e monotônicas e se cruzam em
.
- À esquerda (baixa
Passo 10
Resumo prático (como usar isso na prova — mini-guia):
- Para onda quadrada:
- Verificar a razão entre o meio-período
e . - Se
(f baixa): corrente atinge , segue a quadrada; aparece só nas transições (pulsos). - Se
(f alta): corrente varia pouco; o indutor “bloqueia” variações rápidas, domina, é pequeno; a forma no resistor fica suavizada (filtro). - Alternativamente, decompor a quadrada em harmônicos e verificar atenuação de cada harmônico por
e .
- Verificar a razão entre o meio-período
- Para sinal senoidal:
- Usar as fórmulas fasoriais dadas no Passo 6.
- Frequência de transição/igualdade de tensões:
. - Limites: em
o resistor leva quase toda a tensão; em o indutor leva quase toda a tensão.
- Sempre que possível, compare o período do sinal com
para prever qualitativamente o comportamento sem contas pesadas.
Resposta
Onda quadrada: a resposta depende da relação entre o meio-período
e
. Para
a corrente atinge
,
segue quase a quadrada e
aparece apenas como pulsos nas transições; para
a corrente varia pouco,
domina e
fica pequena (a forma sobre
é suavizada).
Dependência com a frequência: sim — harmônicos de ordem têm corrente
, logo componentes de alta frequência são atenuados.
Senoidal: para temos
,
e
; em
vale
, em
vale
.
Esboço da dependência: decresce monotonamente de
para
com
;
cresce monotonamente de
para
; cruzam em
(onde
).
Dependência com a frequência: sim — harmônicos de ordem
Senoidal: para
Esboço da dependência: