(Valor 2.5) Considere um circuito RL ligado em série. O que acontece quando ligamos R e L em serie com um gerador de onda quadrada? O resultado obtido depende da frequência? O que acontece quando ligamos R e L em série com um gerador de ondas senoidal? Faça um desenho esquemático da dependência de Vr e VL com a frequência.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados implícitos que vamos usar.
  • Perguntas do enunciado:
    1. O que acontece quando ligamos R e L em série com um gerador de onda quadrada?
    2. O resultado obtido depende da frequência?
    3. O que acontece quando ligamos R e L em série com um gerador de onda senoidal?
    4. Fazer um desenho esquemático da dependência de V_R e V_L com a frequência.
  • Dados/hipóteses que vamos assumir (o enunciado não fornece valores numéricos):
    • Circuito: resistência R e indutor L em série ligados a um gerador de tensão.
    • O gerador pode ser uma onda quadrada de amplitude pico V (ou \pm V) ou uma senoide de amplitude V.
    • Tempo de resposta do circuito é governado pela constante de tempo \tau dada por \tau=\dfrac{L}{R}.
    • Para analisar a resposta senoidal vamos usar análise fasorial/impedância: impedância do indutor \,Z_L=j\omega L, com \omega=2\pi f.

Passo 2

Conceito essencial: resposta ao degrau e constante de tempo. Isso é importante porque uma onda quadrada é uma sequência de degraus e a inércia do indutor determina se a corrente tem tempo para variar entre os níveis.
  • Quando um degrau de tensão V é aplicado num circuito série R\!-\!L (partindo de corrente inicial i(0)): i(t)=I_{\infty}+\bigl(i(0)-I_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau},onde \tau=\dfrac{L}{R} é a constante de tempo e I_{\infty}=\dfrac{V}{R} é a corrente de regime DC final (após tempo longo).
  • Interpretação física simples: o indutor resiste a mudanças rápidas de corrente; a corrente muda exponencialmente com tempo característico \tau. Se o tempo disponível ( T/2 num meio ciclo de uma quadrada) for muito maior que \tau, a corrente chega perto de I_{\infty}; se T/2\ll\tau, a corrente mal muda durante o intervalo.

Passo 3

Aplicando isso à onda quadrada (visão no tempo, transientes):
  • Considere uma onda quadrada alternando entre +V e -V com período T (frequência f=1/T). Em cada borda (subida/descida) o circuito vê um degrau de tensão.
  • Caso de baixa frequência ( T/2\gg\tau):
    • Em cada semi-período a corrente tem tempo de andar até o valor de regime I_{\infty}=\pm V/R.
    • O indutor, após o estabelecimento, tem corrente praticamente constante durante quase todo o semi-período e, portanto, a tensão em L é quase zero (exceto nas bordas/transientes). A maior parte da tensão instantânea está em R: |V_R|\approx V durante o nível constante.
    • Resumindo: para baixo f a saída em R é quase a própria quadrada e V_L aparece apenas como curtos pulsos nas transições.
  • Caso de alta frequência ( T/2\lesssim\tau ou f grande):
    • A corrente não tem tempo para alcançar \pm V/R. As variações de corrente são lentas e pequenas, então o indutor “carrega” a maior parte da tensão.
    • Resultado prático: |V_R| fica pequena (pois i pequena) e |V_L| é grande, a forma de tensão sobre o resistor fica suavizada (pode até ficar quase senoidal com curta amplitude se muitos harmônicos forem atenuados).
  • Conclusão imediata: sim, o resultado com onda quadrada depende fortemente da frequência relativa a \tau=L/R.

Passo 4

Visão por séries de Fourier (por que isso ajuda a entender a dependência em frequência):
  • Uma onda quadrada (pico \pm V) pode ser escrita como soma de harmônicos senoidais (somente ímpares): v_{sq}(t)=\frac{4V}{\pi}\sum_{k=1,3,5,\dots}\frac{1}{k}\sin\bigl(k\omega_0 t\bigr),onde \omega_0=2\pi f é a frequência fundamental.
  • Cada harmônico de ordem k tem frequência k\omega_0. O circuito RL trata cada harmônico como uma senoide aplicada ao circuito série — cada harmônico é atenuado segundo a impedância do indutor nessa frequência.

Passo 5

Resposta em frequência de cada harmônico (análise fasorial para cada componente senoidal):
  • Impedância total do circuito: Z=R+j\omega L.
  • Para um componente senoidal de amplitude de tensão V_k (pico), a corrente harmônica resultante tem amplitude I_k=\frac{V_k}{\sqrt{R^2+(\,k\omega_0 L\,)^2}}.
  • A amplitude da tensão no resistor para esse harmônico é V_{R,k}=I_k R=\frac{V_k R}{\sqrt{R^2+(\,k\omega_0 L\,)^2}},e no indutor V_{L,k}=I_k\,(k\omega_0 L)=\frac{V_k \,k\omega_0 L}{\sqrt{R^2+(\,k\omega_0 L\,)^2}}.
  • Para harmônicos de alta ordem ( k grande), o denominador cresce e cada I_k fica pequeno: harmônicos de alta frequência são fortemente atenuados. Isso explica, do ponto de vista da série de Fourier, porque uma quadrada “perde suas pontas” e fica suavizada quando L é significativo: o indutor atua como um filtro passa-baixas para a corrente.

Passo 6

Agora a análise para excitação senoidal pura (regime estacionário senoidal), que é mais simples e padrão:
  • Seja uma tensão senoidal v(t)=V\sin(\omega t) aplicada ao série R\!-\!L.
  • Impedância do indutor: Z_L=j\omega L. Impedância total: Z=R+j\omega L.
  • Corrente (fasor) I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}. Em amplitude (pico): I(\omega)=\frac{V}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}.
  • Amplitudes das tensões: V_R(\omega)=I(\omega)\,R=\frac{V R}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}},
V_L(\omega)=I(\omega)\,\omega L=\frac{V\,\omega L}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}.
  • Fase: a corrente está atrasada em relação à tensão aplicada por um ângulo \varphi dado por \varphi=\arctan\!\Bigl(\frac{\omega L}{R}\Bigr),isto é, para alta \omega o circuito é mais indutivo e o atraso é maior.

Passo 7

Comportamentos limites e frequência característica:
  • Limite de baixa frequência ( \omega\to0, ou f\to0): V_R\to V,\qquad V_L\to 0.Interpretação: o indutor se comporta como curto para componentes DC/lentas, então a maior parte da tensão aparece no resistor.
  • Limite de alta frequência ( \omega\to\infty, ou f\to\infty): V_R\to 0,\qquad V_L\to V.Interpretação: o indutor apresenta alta reatância e a maior parte da tensão recai sobre ele; a corrente torna-se pequena.
  • A frequência em que V_R=V_L (módulos iguais) ocorre quando \omega L=R, ou seja \omega_c=\frac{R}{L}\quad\Longrightarrow\quad f_c=\frac{R}{2\pi L}.Nesse ponto V_R=V_L=\frac{V}{\sqrt{2}}.

Passo 8

Fórmulas úteis em termos de frequência f (substituindo \omega=2\pi f) e normalizando por V para desenhar curvas:
  • Normalização: \frac{V_R(f)}{V}=\frac{R}{\sqrt{R^2+(2\pi f L)^2}},\qquad \frac{V_L(f)}{V}=\frac{2\pi f L}{\sqrt{R^2+(2\pi f L)^2}}.
  • Essas expressões deixam claro que V_R/V decresce com f (de 1 até 0) e V_L/V cresce com f (de 0 até 1), cruzando em f_c=R/(2\pi L).

Passo 9

Desenho esquemático da dependência de V_R e V_L com a frequência (esboço ASCII normalizado por V). Eixo horizontal: frequência f (baixa \to alta). Eixo vertical: magnitude normalizada V_X/V de 0 a 1.
  • Legenda: curva “R” = V_R/V, curva “L” = V_L/V. Marca a frequência de cruzamento f_c=R/(2\pi L).
    f (log scale) ----->
    1.0 |R\ * *\L
    0.9 | * *
    0.7 | \ * *
    0.5 | \ * <-- cross @ f_c
    0.3 | \ * *
    0.1 | \ * *
    0.0 |------------
    -----------------------
    low f high f
    (V_R ≈1, V_L≈0) (V_R≈0, V_L≈1)
  • Interpretação do esboço:
    • À esquerda (baixa f): V_R/V\approx 1, V_L/V\approx 0.
    • À direita (alta f): V_R/V\approx 0, V_L/V\approx 1.
    • As curvas são suaves e monotônicas e se cruzam em f_c.

Passo 10

Resumo prático (como usar isso na prova — mini-guia):
  • Para onda quadrada:
    • Verificar a razão entre o meio-período T/2 e \tau=L/R.
    • Se T/2\gg\tau (f baixa): corrente atinge \pm V/R, V_R segue a quadrada; V_L aparece só nas transições (pulsos).
    • Se T/2\ll\tau (f alta): corrente varia pouco; o indutor “bloqueia” variações rápidas, V_L domina, V_R é pequeno; a forma no resistor fica suavizada (filtro).
    • Alternativamente, decompor a quadrada em harmônicos e verificar atenuação de cada harmônico por R e j\omega L.
  • Para sinal senoidal:
    • Usar as fórmulas fasoriais dadas no Passo 6.
    • Frequência de transição/igualdade de tensões: f_c=\dfrac{R}{2\pi L}.
    • Limites: em f\to 0 o resistor leva quase toda a tensão; em f\to\infty o indutor leva quase toda a tensão.
  • Sempre que possível, compare o período do sinal com \tau=L/R para prever qualitativamente o comportamento sem contas pesadas.

Resposta

Onda quadrada: a resposta depende da relação entre o meio-período T/2 e \tau=L/R. Para T/2\gg\tau a corrente atinge \pm V/R, V_R segue quase a quadrada e V_L aparece apenas como pulsos nas transições; para T/2\ll\tau a corrente varia pouco, V_L domina e V_R fica pequena (a forma sobre R é suavizada).
Dependência com a frequência: sim — harmônicos de ordem k têm corrente \displaystyle I_k=\dfrac{V_k}{\sqrt{R^2+(k\omega_0 L)^2}}, logo componentes de alta frequência são atenuados.
Senoidal: para v(t)=V\sin(\omega t) temos \displaystyle I(\omega)=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}, \displaystyle V_R(\omega)=\dfrac{V R}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}} e \displaystyle V_L(\omega)=\dfrac{V\omega L}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}; em f\to0 vale V_R\approx V,\,V_L\approx0, em f\to\infty vale V_R\approx0,\,V_L\approx V.
Esboço da dependência: V_R/V decresce monotonamente de 1 para 0 com f; V_L/V cresce monotonamente de 0 para 1; cruzam em f_c=\dfrac{R}{2\pi L} (onde V_R=V_L=V/\sqrt{2}).

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