Uma força \vec{F}=(0,10,0) Né aplicada em um ponto cuja posição em relação ao eixo de rotação é:
\vec{r}=(2,0,0) m
a) Calcule o torque \vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}
b) Determine o módulo do torque
c) Indique a direção e o sentido do vetor torque

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou escrever exatamente os vetores que foram fornecidos):
  • Força: \vec{F}=(0,10,0)\\ \text{N}.
  • Posição do ponto em relação ao eixo de rotação: \vec{r}=(2,0,0)\\ \text{m}.
O que é pedido:
a) Calcular \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
b) Determinar o módulo de \vec{\tau}.
c) Indicar a direção e o sentido do vetor torque.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • O torque (momento de força) é definido por \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. Esse produto vetorial produz um vetor perpendicular aos dois vetores \vec{r} e \vec{F}.
  • Componentes do produto vetorial em termos das componentes de \vec{r}=(r_x,r_y,r_z) e \vec{F}=(F_x,F_y,F_z):
\vec{\tau}=(\tau_x,\tau_y,\tau_z), \qquad \tau_x = r_y F_z - r_z F_y, \qquad \tau_y = r_z F_x - r_x F_z, \qquad \tau_z = r_x F_y - r_y F_x.
Explanação: cada componente do torque é uma diferença de produtos das componentes de \vec{r} e \vec{F}. Essa fórmula vem da regra do determinante 3×3 com os vetores \hat{i},\hat{j},\hat{k} (vou aplicar isso no próximo passo).
  • Módulo do torque também pode ser calculado por
|\vec{\tau}| = |\vec{r}|\,|\vec{F}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. Isto dá uma interpretação física: se \vec{r} e \vec{F} são perpendiculares, \sin\theta=1 e o torque é máximo para esses comprimentos.

Passo 3

Calcular \vec{\tau} usando a fórmula por componentes. Primeiro identifique as componentes:
r_x=2,\quad r_y=0,\quad r_z=0, \qquad F_x=0,\quad F_y=10,\quad F_z=0.
Agora aplicar as fórmulas das componentes:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y = 0\cdot 0 - 0\cdot 10 = 0,
\tau_y = r_z F_x - r_x F_z = 0\cdot 0 - 2\cdot 0 = 0,
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = 2\cdot 10 - 0\cdot 0 = 20.
Portanto
\vec{\tau}=(0,0,20)\\ \text{N}\cdot\text{m}.
(Se preferir ver como determinante: \vec{\tau}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\[4pt]2&0&0\\[4pt]0&10&0\end{vmatrix}=\hat{i}(0)-\hat{j}(0)+\hat{k}(20), que dá o mesmo resultado.)]

Passo 4

Calcular o módulo |\vec{\tau}| de duas formas para confirmar.
Forma 1: a partir das componentes:
|\vec{\tau}|=\sqrt{\tau_x^2+\tau_y^2+\tau_z^2}=\sqrt{0^2+0^2+20^2}=\sqrt{400}=20\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Forma 2: pela fórmula |\vec{\tau}|=|\vec{r}|\,|\vec{F}|\,\sin\theta.
  • Primeiro |\vec{r}|=\sqrt{2^2+0^2+0^2}=2\\ \text{m}.
  • |\vec{F}|=\sqrt{0^2+10^2+0^2}=10\\ \text{N}.
  • O ângulo entre \vec{r} (no eixo +x) e \vec{F} (no eixo +y) é \theta=90^\circ, então \sin\theta=1.
    Logo
|\vec{\tau}|=2\cdot 10\cdot 1=20\\ \text{N}\cdot\text{m},
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Direção e sentido do torque:
  • O vetor \vec{\tau}=(0,0,20) aponta ao longo do eixo +z. Em notação de versores, \vec{\tau}=20\,\hat{k}.
  • Sentido (interpretação física): usando a regra da mão direita para o produto vetorial \vec{r}\times\vec{F}, posiciona-se os dedos na direção de \vec{r} (para +x) e fecha-se os dedos na direção de \vec{F} (para +y); o polegar aponta para +z. Isso significa que o torque tende a produzir uma rotação do eixo na direção de +x para +y. Quando visto a partir do lado positivo do eixo z (ou seja, olhando na direção do eixo +z em direção à origem), essa rotação é no sentido anti-horário.

Resposta

a) \vec{\tau}=(0,0,20)\\ \text{N}\cdot\text{m}
b) |\vec{\tau}|=20\\ \text{N}\cdot\text{m}
c) Direção: eixo +z (vetor \hat{k}). Sentido: rotação de +x para +y (anti-horário quando visto do lado positivo do eixo z).

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