\vec{u}=(3,0,0) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(0,4,0)
a) Calcule \vec{u} \times \vec{v}
b) Determine o módulo do vetor resultante
c) Interprete geometricamente esse resultado
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,0,0) e \vec{v}=(0,4,0) e pede três coisas:
(a) Calcular \vec{u}\times\vec{v}.
(b) Determinar o módulo do vetor resultante \bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|.
(c) Interpretar geometricamente o resultado.
Informações relevantes fornecidas:
As componentes de \vec{u} são u_{1}=3, u_{2}=0, u_{3}=0.
As componentes de \vec{v} são v_{1}=0, v_{2}=4, v_{3}=0.
Passo 2
Explicando a operação que vamos usar (como se fosse uma mini-aula): para dois vetores em \mathbb{R}^3 com componentes \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}), o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é definido por
u_{1},u_{2},u_{3} são as componentes de \vec{u} nas direções x,y,z respectivamente.
v_{1},v_{2},v_{3} são as componentes de \vec{v} nas direções x,y,z.
Cada coordenada do produto vetorial é uma combinação das componentes dos vetores originais, conforme mostrado.
Outra forma muito usada é com o determinante envolvendo os vetores unitários \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}:
E uma propriedade importante (útil para interpretar): \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. O sentido (direção positiva ou negativa) é dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem \vec{u} para \vec{v}, o polegar aponta para \vec{u}\times\vec{v}.
Passo 3
Agora aplico a fórmula com os valores dados. Primeiro identifico as componentes:
Calculo cada coordenada de \vec{u}\times\vec{v} pela fórmula:
Componente x (primeira): u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}=0\cdot0-0\cdot4=0.
Componente y (segunda): u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}=0\cdot0-3\cdot0=0.
Componente z (terceira): u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=3\cdot4-0\cdot0=12.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12).
Uma verificação rápida com a forma determinantal: \hat{\imath} vezes o determinante \begin{vmatrix}0&0\\\ 4&0\end{vmatrix} dá 0, -\hat{\jmath} vezes \begin{vmatrix}3&0\\\ 0&0\end{vmatrix} dá 0, e +\hat{k} vezes \begin{vmatrix}3&0\\\ 0&4\end{vmatrix}=3\cdot4=12, resultando em 12\hat{k}, isto é, (0,0,12).
Passo 4
Agora o módulo do vetor resultante. Para um vetor (a,b,c) vale
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui |\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+0+0}=3 e |\vec{v}|=\sqrt{0+4^{2}+0}=4. Como \vec{u} aponta na direção x e \vec{v} na direção y, o ângulo é \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Logo |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta=3\cdot4\cdot1=12, que coincide com o cálculo direto.
Passo 5
Interpretação geométrica (explicada devagarinho):
O vetor \vec{u} está ao longo do eixo x (direção \hat{\imath}), e \vec{v} está ao longo do eixo y (direção \hat{\jmath}).
O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12) está ao longo do eixo z (direção \hat{k}), ou seja, é ortogonal a ambos os vetores \vec{u} e \vec{v}. Isso é sempre verdade para o produto vetorial.
O sentido (positivo em z) obedece à regra da mão direita: \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}, e como \vec{u}=3\hat{\imath}, \vec{v}=4\hat{\jmath}, tem-se \vec{u}\times\vec{v}=3\cdot4\,\hat{k}=12\hat{k}.
O módulo \,12 tem uma interpretação geométrica: é a área do paralelogramo construído com lados \vec{u} e \vec{v}. Nesse caso a base tem comprimento 3, a altura efetiva é 4 (porque estão ortogonais), logo área =3\cdot4=12.
Se estiver na prova, uma boa frase curta para justificar: “o produto vetorial é ortogonal aos dois vetores, com direção dada pela regra da mão direita, e seu módulo é a área do paralelogramo gerado pelos vetores.”
Resposta
a) \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12)
b) \bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|=12
c) Vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, apontando para a direção positiva de z (pela regra da mão direita); seu módulo 12 é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.