Considere os vetores:
\vec{u}=(3,0,0) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(0,4,0)
a) Calcule \vec{u} \times \vec{v}
b) Determine o módulo do vetor resultante
c) Interprete geometricamente esse resultado

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,0,0) e \vec{v}=(0,4,0) e pede três coisas:
  • (a) Calcular \vec{u}\times\vec{v}.
  • (b) Determinar o módulo do vetor resultante \bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|.
  • (c) Interpretar geometricamente o resultado.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes de \vec{u} são u_{1}=3, u_{2}=0, u_{3}=0.
  • As componentes de \vec{v} são v_{1}=0, v_{2}=4, v_{3}=0.

Passo 2

Explicando a operação que vamos usar (como se fosse uma mini-aula): para dois vetores em \mathbb{R}^3 com componentes \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}), o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é definido por
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).
O que cada coisa significa:
  • u_{1},u_{2},u_{3} são as componentes de \vec{u} nas direções x,y,z respectivamente.
  • v_{1},v_{2},v_{3} são as componentes de \vec{v} nas direções x,y,z.
  • Cada coordenada do produto vetorial é uma combinação das componentes dos vetores originais, conforme mostrado.
    Outra forma muito usada é com o determinante envolvendo os vetores unitários \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix}.
E uma propriedade importante (útil para interpretar): \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. O sentido (direção positiva ou negativa) é dado pela regra da mão direita: se os dedos seguem \vec{u} para \vec{v}, o polegar aponta para \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os valores dados. Primeiro identifico as componentes:
u_{1}=3,\; u_{2}=0,\; u_{3}=0,\qquad v_{1}=0,\; v_{2}=4,\; v_{3}=0.
Calculo cada coordenada de \vec{u}\times\vec{v} pela fórmula:
  • Componente x (primeira): u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}=0\cdot0-0\cdot4=0.
  • Componente y (segunda): u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}=0\cdot0-3\cdot0=0.
  • Componente z (terceira): u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=3\cdot4-0\cdot0=12.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12).
Uma verificação rápida com a forma determinantal: \hat{\imath} vezes o determinante \begin{vmatrix}0&0\\\ 4&0\end{vmatrix} 0, -\hat{\jmath} vezes \begin{vmatrix}3&0\\\ 0&0\end{vmatrix} 0, e +\hat{k} vezes \begin{vmatrix}3&0\\\ 0&4\end{vmatrix}=3\cdot4=12, resultando em 12\hat{k}, isto é, (0,0,12).

Passo 4

Agora o módulo do vetor resultante. Para um vetor (a,b,c) vale
\bigl|(a,b,c)\bigr|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando a \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12):
\bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+12^{2}}=\sqrt{144}=12.
Outra fórmula útil (e conceitual) que liga módulo do produto vetorial aos vetores originais é
\bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui |\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+0+0}=3 e |\vec{v}|=\sqrt{0+4^{2}+0}=4. Como \vec{u} aponta na direção x e \vec{v} na direção y, o ângulo é \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Logo |\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta=3\cdot4\cdot1=12, que coincide com o cálculo direto.

Passo 5

Interpretação geométrica (explicada devagarinho):
  • O vetor \vec{u} está ao longo do eixo x (direção \hat{\imath}), e \vec{v} está ao longo do eixo y (direção \hat{\jmath}).
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12) está ao longo do eixo z (direção \hat{k}), ou seja, é ortogonal a ambos os vetores \vec{u} e \vec{v}. Isso é sempre verdade para o produto vetorial.
  • O sentido (positivo em z) obedece à regra da mão direita: \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}, e como \vec{u}=3\hat{\imath}, \vec{v}=4\hat{\jmath}, tem-se \vec{u}\times\vec{v}=3\cdot4\,\hat{k}=12\hat{k}.
  • O módulo \,12 tem uma interpretação geométrica: é a área do paralelogramo construído com lados \vec{u} e \vec{v}. Nesse caso a base tem comprimento 3, a altura efetiva é 4 (porque estão ortogonais), logo área =3\cdot4=12.
Se estiver na prova, uma boa frase curta para justificar: “o produto vetorial é ortogonal aos dois vetores, com direção dada pela regra da mão direita, e seu módulo é a área do paralelogramo gerado pelos vetores.”

Resposta

a) \vec{u}\times\vec{v}=(0,0,12)
b) \bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|=12
c) Vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, apontando para a direção positiva de z (pela regra da mão direita); seu módulo 12 é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

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