Em uma chapa atuam forças:
\begin{gathered} \vec{F}_{1}=300 \vec{\jmath} \mathrm{~N}, \text { no ponto } A(2 ; 0) \mathrm{m} ; \\\ \vec{F}_{2}=-200 \vec{\imath} \mathrm{~N}, \text { no ponto } B(0 ; 3) \mathrm{m} ; \end{gathered}
Determine o sistema equivalente no ponto \mathrm{P}(1 ; 1).

Passo 1

O enunciado dá duas forças aplicadas em uma chapa e pede o sistema equivalente no ponto P(1;1). Informações fornecidas:
  • \vec{F}_{1}=300\vec{\jmath}\\ \mathrm{N}, aplicada no ponto A(2;0)\\ \mathrm{m}.
  • \vec{F}_{2}=-200\vec{\imath}\\ \mathrm{N}, aplicada no ponto B(0;3)\\ \mathrm{m}.
    O que é pedido: determinar o sistema de forças equivalente referido ao ponto P(1;1).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a força resultante \vec{R} do sistema, que é a soma vetorial das forças:
\vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2.
Aqui somamos componente a componente (explico cada termo para ficar bem claro).

Passo 3

Somando as componentes:
\vec{F}_1=0\vec{\imath}+300\vec{\jmath}, \qquad \vec{F}_2=-200\vec{\imath}+0\vec{\jmath},
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\vec{R}=(0-200)\vec{\imath}+(300+0)\vec{\jmath}=-200\vec{\imath}+300\vec{\jmath}\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: a resultante aponta para a esquerda (componente -200 em x) e para cima (componente +300 em y).

Passo 4

Agora precisamos do momento resultante sobre o ponto P. Conceito: o momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial da posição do ponto de aplicação relativa a P pelo vetor força:
\vec{M}_P=\sum (\vec{r}_{\,\text{(aplicação)}\to P}\times\vec{F}).çã
Em duas dimensões o momento fica perpendicular ao plano, e o valor escalar (com sinal) pode ser calculado por
M = r_x F_y - r_y F_x,
onde \vec{r}=(r_x,r_y) é o vetor do ponto P até o ponto de aplicação (ou, equivalentemente, posição da força relativa a P) e F_x,F_y são as componentes da força.

Passo 5

Calcular os vetores posição relativos a P(1;1):
\vec{r}_A = \overrightarrow{PA} = (2-1)\vec{\imath}+(0-1)\vec{\jmath}=1\vec{\imath}-1\vec{\jmath}.
\vec{r}_B = \overrightarrow{PB} = (0-1)\vec{\imath}+(3-1)\vec{\jmath}=-1\vec{\imath}+2\vec{\jmath}.

Passo 6

Calcular o momento de \vec{F}_1 em relação a P. Usando \vec{F}_1=(0,300) e \vec{r}_A=(1,-1):
M_1 = r_{A,x}F_{1,y}-r_{A,y}F_{1,x} = 1\cdot300 - (-1)\cdot0 = 300\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação do sinal: M_1>0 indica momento no sentido anti-horário (vetor momento apontando para fora do plano, em \vec{k}).

Passo 7

Calcular o momento de \vec{F}_2 em relação a P. Usando \vec{F}_2=(-200,0) e \vec{r}_B=(-1,2):
M_2 = r_{B,x}F_{2,y}-r_{B,y}F_{2,x} = (-1)\cdot0 - 2\cdot(-200) = 400\\ \mathrm{N\cdot m}.
Aqui também deu positivo, ou seja, contribui no mesmo sentido (anti-horário).

Passo 8

Somar os momentos para obter o momento resultante em P:
M_P = M_1+M_2 = 300+400 = 700\\ \mathrm{N\cdot m}.
Como vetor no espaço tridimensional de momentos:
\vec{M}_P = 700\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m},
onde \vec{k} é o versor perpendicular ao plano xy (sentido anti-horário positivo quando visto de cima).

Passo 9

Conclusão interpretativa e forma do sistema equivalente: o sistema original de duas forças é equivalente, referido ao ponto P, a uma força resultante aplicada em P mais um momento (ou casal) \vec{M}_P. Escrevendo de forma clara os valores finais (isso é o que normalmente se pede em prova).

Resposta

\displaystyle \vec{R}=-200\vec{\imath}+300\vec{\jmath}\\ \mathrm{N}
\displaystyle \vec{M}_P=700\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}

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