Forças Externas Periódicas. Neste capítulo, estamos preocupados, basicamente, com a utilização de série de Fourier para resolver problema de valores de contorno para determinadas equações diferenciais parciais. No entanto, as séries de Fourier são, também, úteis em muitas outras situações onde ocorrem fenômenos periódicos. Os problemas de 13 a 16 indicam como elas podem ser usadas para se resolver problemas de valor inicial com termos não-homogêneos periódicos (que correspondem a forças externas periódicas no caso de problemas físicos).
Encontre a solução formal do problema de valor inicial
y^prime prime+omega^2 y=f(t), y(0)=1, y^prime(0)=0
onde f é periódica de período 2 e
Veja o Problema 8.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial de um oscilador linear forçado por uma força periódica de período 2. A equação é
y''+omega^2y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=0,
e a força é o dente de serra
f(t)=1-t,&0<= t<1,-1+t,&1<= t<2,
ou seja, precisamos resolver uma EDO linear não-homogênea com termo periódico. Vamos usar a teoria de oscilador forçado e série de Fourier ou, de modo equivalente, o princípio de Duhamel (convolução).

Passo 2

Para EDOs do tipo
y''+omega^2y=f(t),
a solução geral é soma da solução homogênea e de uma solução particular. A homogênea é
yh(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Uma forma elegante de escrever a solução particular para terminação inicial em zero é por convolução (princípio de Duhamel):
yp(t)=1omegaintegral0^tsinl(omega(t-s)r),f(s),ds

Passo 3

Agora impomos as condições iniciais. A solução completa é
y(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)+1omegaintegral0^tsinl(omega(t-s)r)f(s),ds
Em t=0:
y(0)=A+0+0=1implies A=1
Derivando e avaliando em t=0:
y'(t)=-Aomegasin(omega t)+Bomegacos(omega t)+1omegaf(t)|t=0,0= Bomega =0implies B=0

Passo 4

Portanto a solução formal do problema é
y(t)=cos(omega t)+1omegaintegral0^tsinl(omega(t-s)r),f(s),ds,
onde f(s) é a função periódica de período 2 dada.

Resposta

y(t)=cos(omega t)+1omegaintegral0^tsinl(omega(t-s)r),f(s),ds, f(s)=1-s,&0<= s<1,-1+s,&1<= s<2

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