Forças Externas Periódicas. Neste capítulo, estamos preocupados, basicamente, com a utilização de série de Fourier para resolver problema de valores de contorno para determinadas equações diferenciais parciais. No entanto, as séries de Fourier são, também, úteis em muitas outras situações onde ocorrem fenômenos periódicos. Os problemas de 13 a 16 indicam como elas podem ser usadas para se resolver problemas de valor inicial com termos não-homogêneos periódicos (que correspondem a forças externas periódicas no caso de problemas físicos).
Encontre a solução formal do problema de valor inicial
y^prime prime+omega^2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0
onde f é periódica de período 2 pi e
Veja o Problema 1.

Passo 1

Neste exercício, queremos resolver o problema de valor inicial y''+omega^2y=f(t),;y(0)=0,;y'(0)=0, onde f(t) é a onda quadrada periódica de período 2pi definida por f(t)=1 em (0,pi), f(t)=-1 em (pi,2pi) e zero nos pontos finais. Vamos usar série de Fourier e a fórmula de Duhamel para forçantes periódicas.

Passo 2

Primeiro, expandimos f(t) em série de senos. Como f é ímpar e de média zero, só há termos senoidais de ordem ímpar. Calcula-se
bn=1piintegral0^2pif(t)sin(nt),dt=4pi n,&n;ímpar,0,&n;parí

Passo 3

Logo a série de Fourier de f(t) é
f(t)=4pisumk=0^infty12k+1sinl((2k+1)tr)

Passo 4

Para cada harmônico sin(nt), uma solução particular de y''+omega^2y=sin(nt) é sin(nt)/(omega^2-n^2). Assim, uma solução particular da EDO é
yp(t)=sumk=0^infty4pi(2k+1)1omega^2-(2k+1)^2sinl((2k+1)tr)

Passo 5

A solução geral acrescenta a parte homogênea C1cos(omega t)+C2sin(omega t). Impondo y(0)=0 C1=0. Em seguida,
y'(0)=sumk=0^infty4pi1omega^2-(2k+1)^2+C2,omega=0Rightarrow C2=-4pi,omegasumk=0^infty1omega^2-(2k+1)^2

Resposta

A solução formal do problema é dada pela fórmula de Duhamel:
y(t)=1omegaintegral0^tsinl(omega,(t-s)r),f(s),ds
Especializando para a série de Fourier de f(t), obtém-se também
y(t)=4pisumk=0^infty12k+1sinl((2k+1)tr)omega^2-(2k+1)^2 ;- ;4pi,omegal(sumk=0^infty1omega^2-(2k+1)^2r)sin(omega t)

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