Esse problema indica uma demonstração de convergência de séries de Fourier sob condições mais restritivas do que as do Teorema 10.3.1.
(a) Se f e f ’ são seccionalmente contínuas em -L <= x e se f é periódica com período 2 L, mostre que n an e n bn permanecem limitadas quando n infty, Sugestão: Use integração por partes.
(b) Se f é contínua em -L <= x <= L e periódica com período 2 L, e se f^prime e f^prime prime são seccionalmente contínuas em -L <= x, mostre que n^2 an e n^2 bn permanecem limitadas quando n infty. Se f é contínua no intervalo fechado, então é contínua para todo x. Por que isso é importante? Sugestão: Novamente, integre por partes.
© Usando o resultado do item (b), mostre que ^7 e x convergem.
(d) Do resultado do item ©, mostre que a série de Fourier (4) converge absolutamente para todo .

Passo 1

O enunciado pede uma demonstração de que, sob hipóteses mais fortes do que as do Teorema 10.3.1, os coeficientes de Fourier satisfazem certas estimativas que garantem convergência absoluta da série. Em detalhe, em (a) mostramos que n an e n bn são limitados quando ntoinfty; em (b) que n^2 an e n^2 bn são limitados sob condições extras de derivabilidade; em © deduzimos a convergência das séries sum|an| e sum|bn|; e em (d) concluímos que a série de Fourier converge absolutamente para todo x. Para isso, vamos precisar usar a definição de coeficientes de Fourier e aplicar integração por partes, explorando periodicidade e continuidade nos limites.

Passo 2

Os coeficientes de Fourier de f são
an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Para an aplicamos integração por partes tomando
u=f(x), dv=cos(npi xL),dx, de modo que
du=f'(x),dx e v=Lnpisin(npi xL). Obtém-se
an=1Lgl[f(x)Lnpisinl(tfracnpi xLr)gr]-L^L -1Lintegral-L^Lf'(x)Lnpisinl(tfracnpi xLr),dx
Como f(-L)=f(L) pela periodicidade, o termo de fronteira some e ficamos com
n an=1piintegral-L^Lf'(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Como f' é integrável em um intervalo de comprimento finito, existe constante M tal que
lvert n anrvert<=1piintegral-L^L|f'(x)|,dx=M, logo n an é limitado. Analogamente para n bn.

Passo 3

Partindo de
n an=1piintegral-L^Lf'(x)sinl(tfracnpi xLr),dx,
integramos por partes mais uma vez, com
u=f'(x), dv=sin(npi xL),dx, de onde
du=f''(x),dx e v=-Lnpicos(tfracnpi xL). Isso dá
n an=1pil[f'(x)l(-tfracLnpir)cosl(tfracnpi xLr)r]-L^L +Lpi^2nintegral-L^Lf''(x)cosl(tfracnpi xLr),dx
Graças à continuidade de f em [-L,L] e periodicidade de suas derivadas, o termo de fronteira anula. Multiplicando por n chegamos a
n^2 an=Lpi^2integral-L^Lf''(x)cosl(tfracnpi xLr),dx,
logo |n^2 an|<= Lpi^2integral-L^L|f''(x)|,dx= C. Mesma conta vale para n^2 bn. A condição de continuidade em todo o intervalo garante que não haja saltos em x=pm L e, portanto, termos de fronteira nulos.

Passo 4

Com |n^2 an|<= C segue-se que
|an|<= Cn^2,
e como sumn=1^infty1/n^2 converge, as séries sum|an| e, do mesmo modo, sum|bn| também convergem.

Passo 5

Para qualquer x, temos
sumn=1^inftyl|ancosl(tfracnpi xLr)+bnsinl(tfracnpi xLr)r| <= sumn=1^inftyl(|an|+|bn|r),
e a segunda soma é finita pelo item ©. Logo a série de Fourier converge absolutamente para todo x.

Resposta

A série de Fourier converge absolutamente para todo x.

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