Esse problema indica uma demonstração de convergência de séries de Fourier sob condições mais restritivas do que as do Teorema 10.3.1.
(a) Se
e
’ são seccionalmente contínuas em
e se
é periódica com período
, mostre que
e
permanecem limitadas quando
, Sugestão: Use integração por partes.
(b) Se
é contínua em
e periódica com período
, e se
e
são seccionalmente contínuas em
, mostre que
e
permanecem limitadas quando
. Se
é contínua no intervalo fechado, então é contínua para todo
. Por que isso é importante? Sugestão: Novamente, integre por partes.
© Usando o resultado do item (b), mostre que
e
convergem.
(d) Do resultado do item ©, mostre que a série de Fourier (4) converge absolutamente
para todo
.
(a) Se
(b) Se
© Usando o resultado do item (b), mostre que
(d) Do resultado do item ©, mostre que a série de Fourier (4) converge absolutamente
Passo 1
O enunciado pede uma demonstração de que, sob hipóteses mais fortes do que as do Teorema 10.3.1, os coeficientes de Fourier satisfazem certas estimativas que garantem convergência absoluta da série. Em detalhe, em (a) mostramos que
e
são limitados quando
; em (b) que
e
são limitados sob condições extras de derivabilidade; em © deduzimos a convergência das séries
e
; e em (d) concluímos que a série de Fourier converge absolutamente para todo
. Para isso, vamos precisar usar a definição de coeficientes de Fourier e aplicar integração por partes, explorando periodicidade e continuidade nos limites.
Passo 2
Os coeficientes de Fourier de
são
Para
aplicamos integração por partes tomando
,
, de modo que
e
. Obtém-se
Como
pela periodicidade, o termo de fronteira some e ficamos com
Como
é integrável em um intervalo de comprimento finito, existe constante
tal que
, logo
é limitado. Analogamente para
.
Passo 3
Partindo de
integramos por partes mais uma vez, com
,
, de onde
e
. Isso dá
Graças à continuidade de
em
e periodicidade de suas derivadas, o termo de fronteira anula. Multiplicando por
chegamos a
logo
. Mesma conta vale para
. A condição de continuidade em todo o intervalo garante que não haja saltos em
e, portanto, termos de fronteira nulos.
Passo 4
Com
segue-se que
e como
converge, as séries
e, do mesmo modo,
também convergem.
Passo 5
Para qualquer
, temos
e a segunda soma é finita pelo item ©. Logo a série de Fourier converge absolutamente para todo
x .
Resposta
A série de Fourier converge absolutamente para todo
x .