FORÇAS INTERATÔMICAS
Explique a origem do módulo de elasticidade.

Passo 1

O enunciado pede para explicar de onde vem, em nível atômico, o módulo de elasticidade (Young). O conteúdo envolve forcas interatômicas e a forma como elas dão origem a uma lei de Hooke efetiva no material. Para resolver, vamos modelar o potencial entre dois átomos e ver como pequenas deformações geram uma constante elástica macroscópica.

Passo 2

Entre dois átomos distantes r, existe um potencial de interação U(r) que tem um mínimo em r=r_0. A força de interação é
F(r) = -\frac{dU}{dr}
e, no ponto de equilíbrio r_0, temos \displaystyle F(r_0)=0 e
\left.\frac{dF}{dr}\right|_{r_0} = -\left.\frac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0}.

Passo 3

Para pequenas variações \Delta r = r - r_0, aproximamos o potencial por sua expansão de Taylor até segunda ordem, gerando um comportamento harmônico:
U(r)\approx U(r_0)+\tfrac12\,U''(r_0)\,(\Delta r)^2.
Desse modo, a força fica linear em \Delta r:
F\approx -U''(r_0)\,\Delta r \equiv -k\,\Delta r,
onde k=U''(r_0) é a “constante de mola” entre dois átomos.

Passo 4

Agora saltamos para o macroscópico: num fio de área de secção A e comprimento L, suponha N ligações em série, cada uma de comprimento r_0, de modo que L=N\,r_0. Se cada ligação se estica \Delta r, então a deformação total é
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{N\,\Delta r}{N\,r_0} = \frac{\Delta r}{r_0}.
Como todas as ligações carregam a mesma força F=k\,\Delta r, a tensão é
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{k\,\Delta r}{A}.
O módulo de Young é \displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon}, daí
E = \frac{\frac{k\,\Delta r}{A}}{\frac{\Delta r}{r_0}} = \frac{k\,r_0}{A} = \frac{U''(r_0)\,r_0}{A}.

Passo 5

Em cristais tridimensionais, há várias ligações por área e orientações diferentes, mas a ideia é a mesma: o módulo de elasticidade macroscópico é proporcional à curvatura do potencial interatômico no mínimo, ou seja, à segunda derivada U''(r_0).

Resposta

O módulo de elasticidade surge da curvatura do potencial de interação entre átomos no ponto de equilíbrio: matematicamente ele é proporcional a \displaystyle U''(r_0), pois essa segunda derivada define a constante de mola atômica cuja soma em série e paralelo gera a resposta elástica linear observada no material.

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